Enunciado

Nos Exercícios 7-10, identifique, a partir de seu gráfico, se a função é injetora.

7. f x = 3 - x ,     x < 0 3 ,     x ≥ 0

Passo 1

Para resolvermos os exercícios do 7-10, devemos lembrar da definição de função injetora, tudo bem?

Uma função f ( x ) é injetora em um domínio D se f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) , sempre que x 1 ≠ x 2 em D .

Há duas formas de provar se uma função é injetora ou não. A primeira é pelo gráfico. Se traçarmos uma reta paralela ao eixo x (imaginária) e o gráfico da função tocar a reta 2 vezes, isso implica que a função não é injetora; mas caso toque apenas 1 vez, isso implica que a função é injetora.

A segunda maneira é usando a definição e atribuindo valores a x , ou seja, se aplicarmos 2 valores distintos de x na função e der o mesmo valor de y , isso implica que a função não é injetora.

Passo 2

Agora que sabemos como provar a injetividade, vamos plotar o gráfico das funções que nos foi dada, beleza? O gráfico vai ser o seguinte:

No qual f x = 3 - x é a função azul e f x = 3 é a função verde.

Passo 3

Por fim, se utilizarmos a segunda maneira para provar se a função é injetora, teremos:

Para x < 0 ⇒ f x = 3 - x . Sendo assim, se notarmos no gráfico, não há nenhum ponto na função em que eu substitua diversos valores para x e dê o mesmo valor de y . Portanto, para x < 0 ,   f ( x ) é injetora!

Para x > 0 ⇒ f x = 3 . Sendo assim, se notarmos no gráfico, TODOS os valores de x dão o mesmo valor de y . Portanto, para x > 0 ,   f ( x ) não é injetora!

Como uma parte do domínio não é injetora, isso significa que f ( x ) não é injetora!

Resposta

f ( x ) não é injetora.

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