Enunciado

Suponha f derivável no intervalo aberto I . Prove que, se f for estritamente crescente em I , então f ' x ≥ 0 para todo x em I .

Passo 1

Vamos lá, sejam x e x + h no intervalo I , com h > 0 . Se f for estritamente crescente, vamos ter:

f x + h - f x h > 0

Pelo Teorema da conservação do sinal e aplicando a derivada pela definição:

f ' x = lim h → 0 ⁺ ⁡ f x + h - f x h ≥ 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Verdadeiro ou falso? 1 x 2 + 1 x 4 = O 1 x 2 1 x 2 + 1 x 4 = O 1 x 4 ⁡ x = o ( x + ln ⁡ x ) ln ⁡ ( ln ⁡ x ) = o( ln ⁡ x ) tan - 1 ⁡ x = O 1 cosh ⁡ x = O( e x )
f cresce mais rapidamente, mais lentamente ou à mesma taxa que g quando x → ∞ ? f x =log 2 ⁡ x ; g x =log 3 ⁡ x f x = x ; g x = x + 1 x f x = x 100 ; g x = x e - x f x = x ; g x = tan - 1 ⁡ x f x = cs
f cresce mais rapidamente, mais lentamente ou à mesma taxa que g quando x → ∞ ? f x =3 - x ; g x =2 - x f x = ln ⁡ 2 x ; g x = ln ⁡ x 2 f x = 10 x 3 + 2 x 2 ; g x = e x f x = tan - 1 ⁡ 1 x ; g x = 1 x
Verdadeiro ou falso? 1 x 4 = O 1 x 2 + 1 x 4 1 x 4 = o1 x 2 + 1 x 4 ⁡ ln ⁡ x= o ( x + 1 ) ln ⁡ 2 x = o ( ln ⁡ x ) sec - 1 ⁡ x = O 1 sinh ⁡ x = O ( e x )
19- Sejam f e g duas funções deriváveis em ] a ,b [ , tais que f ´ ( x )g ´ ( x )∀xe m] a ,b [ . Suponha que existe c em ] a ,b [ , com f ( c )=g ( c ) . Prove que f ( x )g ( x ) para xc e f ( x )g (