Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Suponha f derivável no intervalo aberto I . Prove que, se f for estritamente crescente em I , então f ' x ≥ 0 para todo x em I .

Passo 1

Vamos lá, sejam x e x + h no intervalo I , com h > 0 . Se f for estritamente crescente, vamos ter:

f x + h - f x h > 0

Pelo Teorema da conservação do sinal e aplicando a derivada pela definição:

f ' x = lim h → 0 ⁺ ⁡ f x + h - f x h ≥ 0

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstre que quando x → ∞ , e x cresce mais rapidamente que x 2 para qualquer inteiro positivo, até mesmo x 1.000.000 . Dica: qual é enésima derivada de x n ?  
Verifique que. d d x x 3 3 arcsen ⁡ x + x 2 + 2 9 1 - x 2 = x 2 arcsen ⁡ x
Verifique que. d d x x arctg ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 = arctg ⁡ x
Verifique que. d d x 27 x 2 + 6 x - 1 x - 3 arcsen ⁡ 1 - 3 x 6 x = 1 x 2 27 x 2 + 6 x - 1
Seja f x = x + x 3 .Mostre que f admite função inversa g Expresse g ' x em termos de g x Calcule g ' 0
Seja f x = x 2 - 4 x - 1 . Faça o seguinte:Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;Determi...
Seja f x = 3 x 2 - 3 x + 2 . Faça o seguinte:Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;Deter...
Seja f x = 2 cos ⁡ 3 x Faça o seguinte:Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;Determine o...
Seja f x = x 5 - 5 x 3 - 20 x - 2 . Faça o seguinte:Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorre...
Seja f x = 4 s e n x 2 . Faça o seguinte:Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;Determine...
Seja f x = x 3 - 9 x 2 + 15 x - 5 . Faça o seguinte:Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorre...
Seja f x = x 3 - x 2 - x . Faça o seguinte:Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;Determi...