Enunciado

Onde a função h x = x - 1 + x + 2   é derivável? Dê uma fórmula para h ' e esboce os gráficos de h e h ' .

Passo 1

Queremos saber em que intervalo de x a função h x = x - 1 + | x + 2 | é derivável.

Essa é uma função que o comportamento dela não é tão claro. Por isso, vamos substituir alguns valores nela e ver como ela se comporta.

São bons valores para a gente substituir aqueles que zeram os termos dentro dos módulos, provavelmente esses pontos serão importantes para a gente.

x 0 = 1

x 1 = - 2 Além disso, vamos substituir valores dentro desse intervalo e fora dele para ver se obtemos algum tipo de comportamento interessante.Depois disso, montamos uma tabela e um gráfico e aí vamos conseguir ver melhor onde a função é derivável.Lembrando que para uma função ser derivável ela não pode ter quinas e precisa ser contínua.

Passo 2

Devemos ver em que intervalos a função h está “fragmentada”.

Vamos começar olhando para os pontos onde os valores no interior dos módulos zera, que são x = 1 e x = - 2 :

f - 2 = - 2 - 1 + - 2 + 2

= - 3 + 0

= 3

f 1 = 1 - 1 + 1 + 2

f 1 = 0 + 3 = 3

E como ela se comporta dentro desse intervalo?

Vamos ver alguns valores, tipo x = 0,5 , x = 0 , x = - 1 e ver o que obtemos:

f 0,5 = 0,5 - 1 + 0,5 + 2

= - 0,5 + 2,5 = 3

f 0 = 0 - 1 + 0 + 2

= - 1 + 2 = 3

f - 1 = - 1 - 1 + - 1 + 2

f - 1 = - 2 + 1 = 3

Tudo indica que para valores dentro do intervalo x = 1 e x = - 2 a função retorna o valor constante y = 3 .

Passo 3

E para valores fora desse intervalo. Vamos verificar x = 3 ,   x = 2 ,   x = - 3 e x = - 4 .

f 3 = 3 - 1 + 3 + 2

= 2 + 5 = 7

f 2 = 2 - 1 + 2 + 2

= 1 + 4 = 5

f - 3 = - 3 - 1 + - 3 + 2

f - 3 = - 4 + - 1 = 5

f - 4 = - 4 - 1 + - 4 + 2

f - 1 = - 5 + - 2 = 7

Opa, parece que fora do intervalo a função se comporta de forma simétrica. Como uma reta crescente e de inclinação 2 , pois um acréscimo de duas unidades em x representa um acréscimo de 2 unidades em y .

Passo 4

Vamos organizar tudo numa tabelinha?

Olhando para a tabela, o que a gente percebe?

A gente percebe que a função é constante e vale 3 para valores entre - 2 e 1 .E a gente tem um cheiro de que essa função cresce de forma linear para valores fora desse intervalo.

Fazendo um gráfico teremos:

Passo 5

Sobre a derivada do gráfico acima, quando ele é um valor constante a derivada é zero, logo podemos dizer que:

h ' x = 0 ,     - 2 < x < 1

Quando ele se comporta como uma reta, temos que a derivada é a inclinação da reta. A gente avaliou que a inclinação é em módulo igual a dois, pois andar uma unidade em x representa uma variação de duas unidades em y .

Sendo que a derivada é negativa para x < 2 , pois a reta é decrescente e positiva para x > 1 , pois a reta é crescente, logo:

h ' x = - 2 ,                 x < - 2

h ' x = 2 ,                 x > 1

E a função não é diferenciável em x = 1 e x = - 2 , pois nesses pontos temos quinas.

h ' 1   ∄

h ' - 2   ∄

Por fim, podemos fazer um gráfico para h ' x .

Resposta

A função h é derivável para qualquer valor de x pertencente aos Reais, exceto para x = - 2 e x = 1 .

Função h ' x :

h ' x = - 2 ,                 x < - 2

h ' - 2   ∄

h ' x = 0 ,     - 2 < x < 1

h ' 1   ∄

h ' x = 2 ,                 x > 1

Gráfico de h x

Gráfico de h ' x

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Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d
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