Enunciado

  1. Suponha que as extremidades de uma barra de cobre com 100 cm de comprimento são mantidas a 0°C. Suponha que o centro da barra é aquecido a 100°C por uma fonte externa de calor; que essa situação se mantém até resultar em um estado estacionário. Encontre essa distribuição de temperatura no estado estacionário.
  2. Em um instante t = 0 [depois de atingido o estado estacionário do item (a)], suponha que a fonte externa é removida. No mesmo instante, suponha que a extremidade x = 0 é colocada em contato com um reservatório a 20°C, enquanto a outra extremidade permanece a 0°C. Encontre a temperatura em função da posição e do tempo.
  3. Faça o gráfico de u em função de x para diversos valores de t. Faça, também, o gráfico de u em função de t para diversos valores de x.
  4. A que valor limite tende a temperatura no centro da barra depois de um longo período de tempo? Depois de quanto tempo o centro da barra esfriará de modo a ficar a 1°C de seu valor limite?

Passo 1

Letra a:

Temos as seguintes condições:

α ² u x x = u t     0 < x < 100 ,   t > 0

u ( 0 , t )   =   0 ,   t > 0

u ( 100 , t ) = 0   t > 0

u ( x , 0 )   =   f ( x )       0 < x < 100

Para encontrar a distribuição constante de temperatura, podemos dividir o problema em dois problemas. Sabemos que o centro da barra é aquecido a 100ºC. Então nós temos:

α ² u x x = u t       0 < x < 50 ,   t > 0

u ( 0 , t )   =   0 ,   t > 0

u ( 50 , t ) =   100   t > 0

u ( x , 0 ) = f ( x )     0 < x < 50

e

α ² u x x = u t     50 < x < 100 ,   t > 0

u ( 0 , t ) = 100 ,   t > 0

u ( 50 , t ) = 0 ,     t > 0

u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   50 < x < 100

Passo 2

A distribuição constante de temperatura para esses problemas é dada por

v ( x ) = ( T 2 - T 1 ) x L + T 1

Para o primeiro problema que temos L = 50 ,   T 1 = 0 ,   T 2 = 100 , temos:

v ( x ) = 2 x

Para o segundo problema, temos L = 50 ,   T 1 = 100 ,   T 2 = 0 . . No entanto, observe que x começa em 50. Portanto, devemos escrever x-50 ao invés de x para começar em zero, para que tenhamos:

v ( x ) = ( 0 - 100 ) x - 50 50 + 100 = 200 - 2 x

Combinando esses dois problemas, podemos escrever a distribuição constante de temperatura do nosso problema como:

2 x   ,   0   ≤   x   ≤ 50

200   -   2 x ,   50   ≤   x   ≤   100

Passo 3

Na letra b:

Agora, nosso problema é:

α 2 u x x = u t         0 < x < 100 ,   t > 0

u ( 0 , t ) = 20 ,   t > 0

u ( 100 , t ) = 0   t > 0

u ( x , 0 ) = 2 x ,   0   ≤   x   ≤   50

200 - 2 x ,   50   ≤   x   ≤   100

A solução do problema é dado pelas fórmulas 16 e 17 na página 634:

u ( t , x ) = ( T 2 - T 1 ) x L + T 1 + ∑ n = 1 ∞ c n e - n ² π ² α ² t L ² s e n ( n π x L )

c n = 2 L ∫ 0 L [ f ( x ) - ( T 2 - T 1 ) x L - T 1 ]   s e n ( n π x L ) d x

Passo 4

Nós temos L = 100 , α ² = 1.14 ,   u ( 0 , t ) = T 1 = 20 ,   u ( L , t ) = T 2 = 0 e

f ( x )   =   2 x ,   0   ≤   x   ≤   50

200 - 2 x ,   50   ≤   x   ≤   100

Queremos achar c n :

c n = 800 n ² π ² s e n ( n π 2 ) - 40 n π

Substituímos e chegamos em:

u ( t , x ) = 20 - x 5 + ∑ n = 1 ∞ ( 800 n ² π ² s e n ( n π 2 ) - 40 n π )   e - 1.14 π ² n ² t 100 ² s e n ( n π x 100 )

Passo 5

Na letra c:

u versus t, para x=5, x=50, x=80:

Passo 6

u versus x, para t=1, t=36, t=136

Passo 7

Na letra d:

Como e - n ² π ² α ² t L ² ⇒ 0   q u a n d o   t ⇒ ∞ , concluímos que a temperatura no centro se aproxima de 20 - 50 5 = 10

Quando a temperatura é 11ºC, o tempo é 3754.1:

Resposta

  1. 2 x   ,   0   ≤   x   ≤ 50
  2. 200   -   2 x ,   50   ≤   x   ≤   100

  3. u ( t , x ) = 20 - x 5 + ∑ n = 1 ∞ ( 800 n ² π ² s e n ( n π 2 ) - 40 n π )   e - 1.14 π ² n ² t 100 ² s e n ( n π x 100 )
  4. 3754.1
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