Enunciado

Em cada um dos problemas de 6 a 9, determine uma expansão formal em série de autofunções para a solução do problema dado. Suponha que f satisfaz as condições do Teorema 11.3.1. Diga para quais valores de μ a solução existe.

y ' ' + α y = - f x ,             y ' 0 = 0 ,       y ' 1 = 0

Passo 1

Observe que a equação diferencial pode ser reescrita como

- y = μ y + f x

Note que nesse caso então temos q x = 0 e r x = 1 . Como mostrado na questão 3 dessa seção a autofunção é:

ϕ n x = 2 cos ⁡ n π x

Onde os autovalores associados são...

λ n = n 2 π 2

Passo 2

Baseado no Teorema 11.3.1, a solução é dada por:

y x = ∑ n = 1 ∞ c n λ n - 2 ϕ n x

No nosso caso, temos lambda e temos ϕ :

y x = ∑ n = 1 ∞ c n n 2 π 2 - 2 2 cos ⁡ n π x

Desde que μ ≠ λ n .

Passo 3

Vamos ter com isso então o nosso c n sendo...

c n = ∫ 0 1 f x ϕ x x d x

c n = 2 ∫ 0 1 f x cos ⁡ n π x d x

Resposta

y x = ∑ n = 1 ∞ c n n 2 π 2 - 2 2 cos ⁡ n π x

Onde

c n = 2 ∫ 0 1 f x cos ⁡ n π x d x

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