Lista de Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Não Homogênea

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Considere o problema de valor inicial e de contorno, definido por

u t x , t - 2 u x x x , t = 0 u 0 , t = 1 / 2 u ( 1 / 2 ,   t ) = 3 / 4 u x , 0 = x 2 + 1 / 2

Que representa a distribuição de temperatura numa barra de seção uniforme, de material homogêneo e de comprimento 1 / 2 .

a) Determinar a distribuição de temperatura da barra, denotada por v ( x ) para todo x ∈ 0 , 1 2 , após alcançado o estado de equilíbrio térmico (estado estacionário).

b) Definindo w x , t = u x , t - v ( x ) , determinar o problema de valor inicial e de fronteira que a função w ( x , t ) deverá satisfazer. Não é necessário resolver o problema obtido, porém deve se justificar todos os argumentos que conduzem a ele.

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Determine uma solução de estado estacionário y x do problema de contorno

k ∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ u ∂ t ,     0 < x < π ,     t > 0

u 0 , t = u 0 ,     - u x π , t = u π , t - u 1 ,     t > 0  

u x , 0 = 0 ,     0 < x < π

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Considere a condução de calor em uma barra homogênea de comprimento igual a 50   m e coeficiente de difusividade térmica igual a 1 , cuja superfície lateral está isolada e que só troca calor com o ambiente através de suas extremidades. Suponha ainda que esteja inicialmente a uma temperatura de 25 0 C e que a temperatura dos extremos da barra seja mantida constante igual a 100 o C para todo t > 0 . Determine a temperatura u ( x , t ) sabendo que tal problema é modelado por

u t = u x x u 0 , t = 100 = u 50 , t ,       t > 0 u x , 0 = 25 ,         0 < x < 50

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Seja o problemas de valor inicial e de fronteira (PVIF) relativo à equação do calor:

u x x   =   u t ,     0   ≤   x   <   π ,   t > 0

  1. Com extremos mantidos a temperaturas diferentes e condição inicial dada por
  2. u 0 ,   t =   0       t > 0 u π ,   t =   1 ,     t > 0 u x ,   0 =   s e n x +   x π ,     0   ≤   x   ≤   π

    Passo 1

    Como as condições do problema não são homogêneas, buscamos uma solução estacionária v ( x ) . Como ela deve satisfazer a equação do calor:

    v x x   =   v t ∴   v t = 0   → v x x = 0  

    Lembra que v ( x ) não depende de t ; logo, suas derivadas em relação a t são todas nulas!

    Integrando duas vezes:

    v x = a x + b

    Aplicando as condições de contorno:

    v 0 = a x + b = 0   ∴ b = 0

    v π = a π = 1   ∴ a = 1 π

    v x = 1 π x

    Pronto! Já temos a solução de v x .

    Passo 2

    Queremos uma solução do tipo

    u x ,   t =   v x + w x ,   t

    em que w x ,   t é o problema de condução do calor homogêneo.

    u 0 ,   t =   v 0 + w x ,   t = 0   + w x ,   t = 0   ∴ w 0 ,   t = 0  

    u π ,   t =   v π + w x ,   t = 1   + w x ,   t = 1   ∴ w π ,   t = 0  

    u x ,   0 = v x + w x ,   0 = 1 π x   + w x ,   0 =   s e n x +   x π   ∴ w x ,   0 = s e n x

    w x x   =   w t ,     0   ≤   x   <   π ,   t > 0

    w 0 ,   t =   0       t > 0 w π ,   t =   1 ,     t > 0 w x ,   0 =   s e n x ,     0   ≤   x   ≤   π

    Agora, vamos resolver w x ,   t com o passo-a-passo maroto que você já conhece !

    Passo 3

    Buscamos soluções por separação de variáveis :

    w x ,   t = X ( x ) T ( t )

    Substituindo   u na equação

    X " x T ( t ) = X x T ' ( t )

    Passando tudo que tem x para um lado e tudo que tem t para o outro lado

    X " ( x ) X ( x )   = T ' ( t ) T ( t )

    Como essa igualdade vale para todo x e todo y , vamos igualá-la a uma constante

    X " ( x ) X ( x )   = T ' ( t ) T ( t ) =   - λ  

    Separando a igualdade em duas equações, você vai encontrar isso aqui...

    X " ( x ) + λ X ( x ) =  0

    T ' t + λ T ( t ) = 0

    Substituindo as condições de contorno...

    X ( 0 ) T   ( t )   =   0   ⇒   X   ( 0 )   =   0  

    X ( π ) T   ( t )   =   0   ⇒   X   ( 1 )   =   0  

    X x T   0 =   s e n x ⇒   T   ( 0 )   = s e n x

    Passo 4

    Isso nos dá um PVC em X x .

    Esqueça, por enquanto, a condição que tem uma função: w x ,   0 = s e n x .

    Precisamos agora achar X x e   T   ( t ) w x ,   t = X ( x )   T   ( t )

    Passo 3

    Como temos um problema de autovalor, vamos montar e resolver a equação característica da equação de   X x

    r 2 + λ = 0

    r = ±   - λ  

    Agora vamos analisar cada caso.

    Se ∆ > 0   e   λ < 0 ,   teremos duas raízes r 1 = - λ   e     r 2 = - - λ    

    X ( x ) = c 1 e x r 1 + c 2 e x r 2 = c 1 e x - λ   + c 2 e x - - λ

    Nas condições de contorno...

    X 0 = c 1 + c 2 =   0 ∴   c 1 = - c 2

    X ( π ) = c 1 e π λ   - e - π λ =   0 ∴ c 1 = - c 2 = 0

    Neste caso, só teremos soluções triviais.

    Se ∆ = 0   e   λ = 0 ,   teremos duas raízes iguais a r = λ a solução da seguinte forma:

    Que no nosso caso vai ficar...

    X x = c 1 + c 2 x

    Aplicando as condições iniciais

    X 0 = c 1 + c 2 y = c 1 = 0

    X π = c 1 + π c 2 = π c 2 = 0   ∴   c 2 = 0  

    Também só há soluções triviais aqui!

    Se ∆ < 0   e   λ > 0 , r = ± i   λ   e a solução tem essa cara aqui

    X x = c 1 s e n λ   y + c 2 cos ⁡ λ   y

    X 0 = c 2 = 0

    X π = c 1 s e n λ   = 0

    Como queremos soluções não triviais

    λ = n ,   n = 1,2 , 3 …

    λ n = n ² ,     n = 1,2 , 3 …

    X n = s e n ( n ) x ,     n = 1,2 , 3 …

    Passo 4

    Agora vamos trabalhar nossa função T ( t ) usando a condição inicial

    T ' t + λ T t = T ' t + n ² T t = 0

    Resolvendo a EDO de primeira ordem vamos ter

    d T ( t ) T ( t ) = - n ² d t

    ∫ d T ( t ) T ( t ) = l n T ( t )  

    - n ² ∫ d t = - n ² t

    l n T t = - n 2 t + C  

    T t =   A e - n ² t

    Agora sim,

    w n x ,   t = X x T t = s e n ( n x ) e - n ² t  

        n = 1,2 , 3 …

    Passo 5

    Pelo princípio da superposição, podemos escrever a série

    w n x ,   y = ∑ n = 0 ∞ A n e - n ² t s e n n x

    Vamos aplicar a condição: w x ,   0 =   f t = s e n x

    w n x ,   0 = ∑ n = 1 ∞ A n s e n n x = s e n x

    De cara, percebemos que para n = 1 , A n = 1 .   Para n ≠ 1 ,   A n = 0   !

    Assim, a série vai ser finita e sua soma:

    w n x ,   y = ∑ n = 1 ∞ A n e - n ² t s e n n x = e - t s e n x

    u x ,   t =   v x + w x ,   t =   1 π x + e - t s e n x

  3. Com extremidades isoladas e condição inicial dada por

u x 0 ,   t =   0       t > 0 u x π ,   t =   0 ,     t > 0 u x ,   0 = c o s x ,     0   ≤   x   ≤   π

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Considere o problema de valor inicial e de contorno, definido por

u t x , t - 2 u x x x , t = 0 u 0 , t = 1 / 2 u ( 1 / 2 ,   t ) = 3 / 4 u x , 0 = x 2 + 1 / 2

Que representa a distribuição de temperatura numa barra de seção uniforme, de material homogêneo e de comprimento 1 / 2 .

  1. Determinar a distribuição de temperatura da barra, denotada por v ( x ) para todo x ϵ [ 0 ,   1 / 2 ] , após alcançado o estado de equilíbrio térmico (estado estacionário).
  2. Definindo w x , t = u x , t - v ( x ) , determinar o problema de valor inicial e de fronteira que a função w ( x , t ) deverá satisfazer. Não é necessário resolver o problema obtido, porém deve se justificar todos os argumentos que conduzem a ele.

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Considere o problema de condução de calor em uma barra de comprimento 1 , modelado por

u t x , t = u x x x , t - 1 0 < x < 1 ,       t > 0 u 0 , t = 0 t ≥ 0 u 1 , t = 1 2 t ≥ 0 u x , 0 = x 2 2 + 2 sen ⁡ 3 π x cos ⁡ 3 π x 0 ≤ x ≤ 1   8 a 8 b 8 c 8 d

  1. Encontre a solução estacionária v x para o problema 8 a - 8 b - 8 c
  2. Seja w x , t = u x , t - v x . Descreva o problema de valores de contorno e de valor inicial que é satisfeito por w
  3. Determine o valor de u 1 2 , t para todo t > 0

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Determine a solução u ( x ,   t ) do problema

u t ( x ,   t )   -   u x x ( x ,   t )   =   0 ,   ( x ,   t )   ∈   ( 0 ,   4 )   ×   ( 0 , ∞ ) ,

  u ( 0 ,   t )   =   u ( 4 ,   t )   =   10 ,   t   ∈   ( 0 , ∞ ) ,

  u ( x ,   0 )   =   10   c o s   π x   4 +   10 ,   x   ∈   ( 0 ,   4 ) .

Dica 1:

O problema

y " =   λ y X 0 =   X L =   0

Tem autovalores λ n = - n ² π ² L ² ,     n = 1,2 , 3 …

e autofunções Y n = c n sen ⁡ n π x L ,     n ≥ 1

Dica 2:

∫ d y     y = ln ⁡ y + C      

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Determine a solução u x , t do problema

u t - u x x = 0 ,     x ∈ 0,20 ,   t ∈ 0 , ∞ u 0 , t = 100 , u 20 , t = 0 ,     t ∈ 0 , ∞ , u x , 0 = g x ,   x ∈ 0,20 ,

Onde

g x = 100 ,     0 ≤ x < 10 , 0 ,     10 ≤ x ≤ 20 .

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Questão 4: Determine a solução u x ,   t do problema

u t - u x x = 0               x ,   t ∈ ] 0 ,   20 [ × ] 0 ,   ∞ [ u 0 ,   t = 100                                                     t ∈ ] 0 ,   ∞ [ u 20 ,   t = 200                                                 t ∈ ] 0 ,   ∞ [ u x ,   0 = f x                                                 x ∈ ] 0 ,   ∞ [

Onde

f x = 100           s e   0 ≤ x < 5 150           s e   5 ≤ x < 1 5 200           s e   15 ≤ x < 20

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Seja o problema de valor inicial e de fronteira relativo à equação do calor com extremos mantidos a diferentes temperaturas:

u t = u x x ,     0 < x < π u 0 , t = 0       u π ,   t = 1 ,     t > 0 u x , 0 = sen ⁡ x + x π ,     0 < x < π

a Determine a parte estacionária da solução;

( b ) Determine a parte transitória da solução e determine a solução do problema.

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