Enunciado

Suponha que f(-1) = 3 e que f'(x) = 0 para todo x. Obrigatoriamente, f(x) = 3 para qualquer x? Justifique sua resposta.

Passo 1

Dado que a função apresenta o valor para x = - 1 e sabendo que a derivada dessa função é igual a 0 para qualquer valor de x que for usado, queremos saber se a função tem valor constante e igual a 3 para qualquer valor de x que quisermos colocar. Para isso utilizaremos um corolário (consequência direta de um teorema) do teorema do valor médio que diz que se a derivada é nula para qualquer valor de x em um intervalo (a, b), então, f x = C para qualquer valor de x dentro do mesmo intervalo.

Passo 2

Observamos que a função tratada no exercício tem derivada nula para todo x, sendo assim, a nossa função f ( x ) é uma função constante (garantida pelo corolário) e seu valor constante é C = 3 .   Portanto, independente do valor de x nossa função terá valor 3.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' = 3 x 2 + 2 x - 1 .
Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' = 5 +1 x 2 .
Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' =1 2 x .
Determine todas as funções possíveis com a derivada y '= x 3 .
Determine a função cuja derivada é f ’ ( x )=2 x–1 e cuja curva passe pelo ponto P ( 0,0 ) .