Enunciado

Suponha que a função f seja definida no intervalo aberto ( 0 ,   1 ) e

f x = s e n   π x x   ( x - 1 )

Defina f em 0 e 1 , de tal forma que f seja contínua no intervalo fechado [ 0 ,   1 ] .

Passo 1

A questão fornece uma função f que não é definida nos extremos do intervalo x = 0 e x = 1 e pede para definirmos ela nesses pontos de modo que ela seja contínua no intervalo fechado [ 0 ,   1 ] todo.

Para que ela seja contínua, devemos ter que

f 0 = lim x → 0 ⁡ f ( x )         e           f 1 = lim x → 1 ⁡ f ( x )

Desta forma, basta calcular esses limites e definir a função nos extremos como os valores dos limites.

Passo 2

Vamos primeiro tomar o limite com x → 0 :

lim x → 0 ⁡ s e n   π x x   ( x - 1 ) = lim x → 0 ⁡ 1 x - 1 ⋅ lim x → 0 ⁡ s e n   π x x = - 1 ⋅ lim x → 0 ⁡ s e n   π x x

Para calcular o limite que resta vamos usar o limite fundamental:

lim θ → 0 ⁡ s e n   θ θ = 1

Para isso, multiplicamos em cima e em baixo por π :

lim x → 0 ⁡ s e n   π x x   x - 1 = - lim x → 0 ⁡ π   s e n   π x π x = - π lim x → 0 ⁡ s e n   π x π x

Fazendo a mudança de variável t = π x , temos que

lim x → 0 ⁡ s e n   π x x   ( x - 1 ) = - π lim t → 0 ⁡ s e n   t t = - π ⋅ 1 = - π

Assim, f 0 = - π .

Passo 3

Por fim, vamos fazer o limite com x → 1 :

lim x → 1 ⁡ s e n   π x x   ( x - 1 ) = lim x → 1 ⁡ 1 x ⋅ lim x → 1 ⁡ s e n   π x x - 1 = 1 ⋅ lim x → 1 ⁡ s e n   π x x - 1

Note que o limite que sobrou é indeterminado do tipo 0 / 0 . Para resolvê-lo você precisa lembrar que

s e n   θ = s e n   ( π - θ )

Assim,

s e n   π x = s e n   π - π x = s e n   π 1 - x = - s e n   π x - 1

Portanto,

lim x → 1 ⁡ s e n   π x x   x - 1 = - lim x → 1 ⁡ s e n   π x - 1 x - 1 = - π lim x → 1 ⁡ s e n   π x - 1 π x - 1

Fazendo a mudança de variável t = π ( x - 1 ) , temos que

lim x → 1 ⁡ s e n   π x x   ( x - 1 ) = - π lim t → 0 ⁡ s e n   t t = - π ⋅ 1 = - π

Portanto, f 1 = - π .

Resposta

f 0 = f 1 = - π

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41-Usando o exercício 40, calcule: lim x → 0 ⁡ l nx + 1x 2 + s e n x l i m x → - 1 e 2 x - π - 1 2 s e n x + s e n 6 x - 2 l i m x → 0 x x + 1 3 s e n π x 2 l i m x → π 2 x + x 2 + s e n 3 x 3 l nx 2
40- Sejam f e g deriváveis em p e tais que f p = g p = 0 . Supondo g ' p ≠ 0 , mostre que: f x g x = f ' x g ' x