Enunciado

42-Seja f definida em R e derivável em p. Suponha f ' p > 0 . Prove que existe r > 0 tal que:

f x > f p   e m   ] p , p + r [

e

f x < f p   e m   ] p - r , p [ .

Passo 1

Para demonstrar isso, precisamos lembrar da definição de derivada mais usual nos livros de cálculo 1:

f ' p = f p + r - f p r  

Como f ' p > 0 e r > 0 , precisamos que seja satisfeita a relação:

f p + r > f ( p )

E, portanto, f x > f ( p ) no intervalo de ] p , p + r [ .

Analogamente, no intervalo ] p - r , p [ , precisamos que seja satisfeito:

f p - f p - r r > 0

E, consequentemente, como r > 0 , f p > f ( x ) para qualquer x no intervalo.

Com isso, provamos ambas as afirmações.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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22. Dada f x = 4 - x 2 . (a) Prove que f é contínua no intervalo fechado [ - 2 ,2 ] . (b) Prove que nem f ´ + 2 nem f ´ - ( 2 ) não existe. (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra (c)
32. Dada f x = [ x ] , ache f ´ ( x 1 ) se x 1 não for inteiro. Prove aplicando o Teorema 3.2.1, que f ´ x 1 não existe se x 1 for inteiro. Se x 1 for inteiro, o que poderá ser dito sobre f ´ - x 1ef
35. Dada f x = x - a [ x ] . Onde a é um inteiro, mostre que f ´ a + 1 = f ´ + ( a ) .
28. Dada f x = 1 - x 2 3 / 2 . (a) Prove que f é contínua no intervalo fechado - 1,1 . (b) Prove que f é derivável no intervalo aberto ( - 1,1 ) e que ambas f ´ + - 1ef ´ - ( 1 ) existem. (c) Faça um
34. Dada f x = 5 - x [ x ] . Faça um esboço do gráfico de f para x e [4,6]. Ache, se existirem: (a) f ´ - 5 ; (b) f ´ + 5 ; (c) f ´ 5 .