41-Usando o exercício 40, calcule:

lim x → 0 ⁡ l n   x + 1   x 2 + s e n x  

lim x->-1 (e^(2x-pi) - 1) / (2senx + sen6x - 2)

lim x->0 (x * raiz_cubica(x + 1)) / (sen(pi * x^2))

l i m x → π 2 x + x 2 + s e n 3 x 3 l n   x 2 + x + 1    

l i m x → 0 e - x 2 + x - 1 e 4 x + x 5 - 1  

lim(x→1) (sen(sen(pi\*x)) / (2-raiz(x)-x^(2/3)))

Passo 1

Primeiramente, notemos que todas as funções são razões do tipo 0/0, então podemos aplicar o resultado da questão 40.

a)Derivamos o numerador e o denominador:

Numerador: l n   x + 1   ' = 1 x + 1

Denominador: x 2 + s e n x ' = 2 x + c o s ⁡ ( x )

Assim, o limite é dado por:

1 x + 1 2 x + c o s x = 1  

Passo 2

b)Derivamos o numerador e o denominador:

Numerador: ( e 2 x - π - 1 ) ' =   2 . e 2 x - π

Denominador: 2 s e n x + s e n 6 x - 2 ' = 2 c o s x + 6 c o s 6 x

Assim, o limite é tal que:

2 . e 2 x - π 2 c o s x + 6 c o s 6 x   = 2 6 c o s 3 π = 2 - 6 = - 1 3

Passo 3

c)Derivamos o numerador e o denominador:

Numerador:   x x + 1 3 ' = x + 1 1 3 + 1 3 x x + 1 - 2 3  

Denominador: s e n π x 2 ' = 2 π x c o s π x 2

Observe que o limite é dado por:

x + 1 1 3 + 1 3 x x + 1 - 2 3 2 π x c o s π x 2   = 0 - 1 = 0

Passo 4

d)Derivamos o numerador e o denominador:

Numerador: x + x 2 + s e n 3 x 3 ' = 1 + 1 3 2 x + 3 c o s 3 x x 2 + s e n 3 x - 2 3

Denominador: l n   x 2 + x + 1   ' = 2 x + 1 x 2 + x + 1

O limite é dado por:

1 + 1 3 2 x + 3 c o s 3 x x 2 + s e n 3 x - 2 3 2 x + 1 x 2 + x + 1 = 1 1 = 1  

Passo 5

e)Derivamos o numerador e o denominador:

Numerador: ( e - x 2 + x - 1 ) ' = - 2 x . e - x 2 + 1

Denominador: e 4 x + x 5 - 1 ' = 4 e 4 x + 5 x 4

Assim, o limite é dado por:

- 2 x . e - x 2 + 1 4 e 4 x + 5 x 4 = 1 4  

Passo 6

f)Derivamos o numerador e o denominador:

Numerador: s e n s e n π x ' = c o s π x . c o s ⁡ ( s e n π x )

Denominador: 2 - x - x 2 3 ' = - 1 2 x - 3 2 - 2 3 x - 1 3

Assim o limite é dado por:

c o s π x . c o s c o s   s e n π x   - 1 2 x - 3 2 - 2 3 x - 1 3 = - 1 - 1 2 - 2 3 = 1 7 6 = 6 7  

Resposta

  1. 1
  2. - 1 3
  3. 0
  4. 1
  5. 1 4
  6. 6 7
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