Enunciado

Suponha que uma função f seja diferenciável em x 0 . Modifique o argumento do Exercício 53 para provar que a reta tangente ao gráfico de f no ponto P x 0 , f x 0 fornece a melhor aproximação linear de f em P . [Sugestão: Suponha que y = f x 0 + m x - x 0 seja uma reta qualquer que passe pelo ponto P x 0 , f x 0 com inclinação m ≠ f ' x 0 . Aplique a Definição 1.4 . 1 a 5 com x = x 0 + h e ϵ = 1 2 f ' x 0 - m .]

Passo 1

Vamos lá, sendo g x e h x da forma abaixo:

g x = f x - f x 0 + f ' x 0 x - x 0

h x = f x - f x + m x - x 0

Vamos subtrair as duas:

h x - g x = f x - f x + m x - x 0 - f x - f x 0 + f ' x 0 x - x 0

h x - g x = f x - f x - m x - x 0 - f x + f x 0 + f ' x 0 x - x 0

h x - g x = - m x - x 0 + f ' x 0 x - x 0

h x - g x = f ' x 0 - m x - x 0

Passo 2

Observe que obtemos:

h x - g x = f ' x 0 - m x - x 0

Temos então que se m ≠ f ' x 0 , existe δ > 0 tal que se 0 < x - x 0 < δ então:

f x - f x 0 x - x 0 - f ' x 0 < 1 2 f ' x 0 - m

Multiplicando por x - x 0 :

x - x 0 f x - f x 0 x - x 0 - f ' x 0 < 1 2 f ' x 0 - m x - x 0

x - x 0 f x - f x 0 x - x 0 - f ' x 0 < 1 2 h x - g x x - x 0 x - x 0

f x - f x 0 - f ' x 0 x - x 0 < 1 2 h x - g x

g x < 1 2 h x - g x

2 g x < h x - g x

Passo 3

Agora vamos usar a Desigualdade Triangular a + b ≤ a + b :

2 g x < h x + - g x

2 g x < h x + - g x ≤ h x + g x

g x < h x

Temos então g x < h x , assim f x está mais próximo de f x 0 + f ' x 0 x - x 0 do que de f x 0 + m x - x 0 . Portanto a reta tangente fornece uma aproximação melhor de f x do que qualquer outra reta que passe por x 0 , f x 0 .

E qualquer reta que não passe por esse ponto fornece uma aproximação ainda pior para x próximo de x 0 , assim a linha tangente fornece a melhor aproximação linear.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Explique a relação entre continuidade e derivabilidade.
Mostre que f x = x 2 + 2 ,x ≤ 1 x + 2 ,x1 é contínua, mas não diferenciável em x = 1 . Esboce o gráfico de f .
Mostre que f x = x 2 sen ⁡ 1 x ,x ≠ 0 0 ,x = 0 é contínua e diferenciável em x = 0 . Esboce o gráfico de f na vizinhança de x = 0 .
Explique um parágrafo explicando o que significa uma função ser derivável. Inclua exemplos de funções que não sejam deriváveis, bem como exemplos de funções que sejam deriváveis.
Mostre que f x = x 2 + 1 ,x ≤ 1 2 x ,x1 é contínua e diferenciável em x = 1 . Esboce o gráfico de f .