Enunciado

Mostre que

f x = x 2 sen ⁡ 1 x ,       x ≠ 0 0 ,                                           x = 0

é contínua e diferenciável em x = 0 . Esboce o gráfico de f na vizinhança de x = 0 .

Passo 1

Para mostrar que f x é contínua, devemos satisfazer as seguintes condições:

  1. f x 0 está definida
  2. lim x → x 0 ⁡ f x existe
  3. lim x → x 0 ⁡ f x = f x 0

Vamos ver se satisfaz as três condições.

Passo 2

Com a primeira temos:

f 0 = 0

Passo 3

Agora com a segunda vamos ver se o limite lim x → x 0 ⁡ f x :

lim x → x 0 ⁡ f x = lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x

Para calcular esse limite vamos usar Teorema do Confronto, temos que:

- 1 ≤ sen ⁡ 1 x ≤ 1

Multiplicando tudo por x 2 :

- x 2 ≤ x 2 sen ⁡ 1 x ≤ x 2

Vamos calcular os limites das extremidades das desigualdades, se eles forem iguais, eles forçam o limite do meio ser igual a esse valor:

lim x → 0 ⁡ - x 2 = 0

lim x → 0 ⁡ x 2 = 0

Assim:

lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x = 0

Temos então que o limite lim x → 0 ⁡ f x existe e é igual a 0 .

Passo 4

O passo anterior nos dá a terceira condição:

lim x → 0 ⁡ f x = f 0 = 0

Assim a função é contínua.

Passo 5

Vamos agora ver se é diferenciável, vamos calcular o limite:

lim h → 0 ⁡ f 0 + h - f 0 h = lim h → 0 ⁡ 0 + h 2 sen ⁡ 1 0 + h - 0 h

Agora vamos manipular o limite:

lim h → 0 ⁡ 0 + h 2 sen ⁡ 1 0 + h - 0 h = lim h → 0 ⁡ h 2 sen ⁡ 1 h h

E por último vamos cancelar o termo h do numerador e do denominador e vamos aplicar o limite:

lim h → 0 ⁡ h 2 sen ⁡ 1 h h = lim h → 0 ⁡ h sen ⁡ 1 h

Passo 6

Para calcular esse limite vamos usar Teorema do Confronto, temos que:

- 1 ≤ sen ⁡ 1 h ≤ 1

Multiplicando tudo por x :

- h ≤ h sen ⁡ 1 h ≤ h

Vamos calcular os limites das extremidades das desigualdades, se eles forem iguais, eles forçam o limite do meio ser igual a esse valor:

lim h → 0 ⁡ - h = 0

lim h → 0 ⁡ h = 0

Assim:

lim h → 0 ⁡ h sen ⁡ 1 h = 0

Temos então que f ' 0 = 0 , assim a função é diferenciável nesse ponto.

Passo 7

O esboço do gráfico de f x é:

Resposta

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