Enunciado

Mostre que

f x = x 2 + 1 ,       x ≤ 1 2 x ,       x > 1

é contínua e diferenciável em x = 1 . Esboce o gráfico de f .

Passo 1

Para mostrar que f x é contínua, devemos satisfazer as seguintes condições:

  1. f x 0 está definida
  2. lim x → x 0 ⁡ f x existe
  3. lim x → x 0 ⁡ f x = f x 0

Vamos ver se satisfaz as três condições.

Passo 2

Com a primeira temos:

f 1 = 1 2 + 1 = 2

Passo 3

Agora com a segunda vamos ver se o limite lim x → x 0 ⁡ f x calculando os limites laterais, e o limite existe se:

lim x → x 0 ⁺ ⁡ f x = lim x → x 0 ⁻ ⁡ f x = lim x → x 0 ⁡ f x

Pela direita:

lim x → x 0 ⁺ ⁡ f x = lim x → 1 ⁺ ⁡ 2 x = 2 ⋅ 1 = 2

Agora pela esquerda:

lim x → x 0 ⁻ ⁡ f x = lim x → 1 ⁻ ⁡ x 2 + 1 = 1 2 + 1 = 2

Temos então que o limite lim x → 1 ⁡ f x existe e é igual a 2 .

Passo 4

O passo anterior nos dá a terceira condição:

lim x → 1 ⁡ f x = f 1 = 2

Assim a função é contínua.

Passo 5

Vamos agora ver se é diferenciável, vamos calcular tanto pela direita quanto pela esquerda, e os dois valores devem ser iguais para ela ser diferenciável:

Vamos então aplicar para direita:

lim h → 0 ⁺ ⁡ f 1 + h - f 1 h = lim h → 0 ⁺ ⁡ 2 1 + h - 2 ⋅ 1 h

Agora vamos manipular o limite:

lim h → 0 ⁺ ⁡ 2 1 + h - 2 ⋅ 1 h = lim h → 0 ⁺ ⁡ 2 + 2 h - 2 h = lim h → 0 ⁺ ⁡ 2 h h

E por último vamos cancelar o termo h do numerador e do denominador e vamos aplicar o limite:

lim h → 0 ⁺ ⁡ 2 h h = lim h → 0 ⁺ ⁡ 2 = 2

Passo 6

Agora vamos aplicar para esquerda:

lim h → 0 ⁻ ⁡ f 1 + h - f 1 h = lim h → 0 ⁻ ⁡ 1 + h 2 + 1 - 1 2 + 1 h

Agora vamos manipular o limite:

lim h → 0 ⁻ ⁡ 1 + h 2 + 1 - 1 2 + 1 h = lim h → 0 ⁻ ⁡ 1 + 2 h + h 2 + 1 - 2 h = lim h → 0 ⁻ ⁡ 2 h + h 2 h

E por último vamos cancelar o termo h do numerador e do denominador e vamos aplicar o limite:

lim h → 0 ⁻ ⁡ 2 h + h 2 h = lim h → 0 ⁻ ⁡ 2 + h = 2

Assim temos que f ' 1 = 2 , então a função é diferenciável.

Passo 7

O esboço do gráfico de f x é:

Resposta

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