Enunciado

Suponha que uma função f seja diferenciável em x 0 e que f ' x 0 > 0 . Prove que existe um intervalo aberto contendo x 0 , tal que, se x 1 e x 2 são dois pontos quaisquer nesse intervalo, com x 1 < x 0 < x 2 , então f x 1 < f x 0 < f x 2 .

Passo 1

Vamos lá, dizer que f ' x 0 > 0 significa que a função f é crescente em x = x 0 .

Como f é diferenciável em x 0 , pelo Teorema 2.2 . 3 f também é contínua em x 0 , portanto tem que existir dois pontos x 1 e x 2 de tal forma que:

x 1 < x 0 < x 2

E isso implica que:

f x 1 < f x 0 < f x 2

Já que f é crescente e contínua.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

24. Dada f x = 8 - x . (a) Prove que f é contínua à esquerda de 8. (b) Prove que f ´ - 8 não existe. (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra (a)
25. Dada f x = s g nx . (a) Prove que f ´ + 0ef ´ - 0 não existem. (b) Prove que lim x → 0 + ⁡ f ´ ( x ) = 0elim x → 0 - ⁡ f ´ ( x ) = 0 . (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra ( b )
25. Dada f x = s g nx . (a) Prove que f ´ + 0ef ´ - 0 não existem. (b) Prove que lim x → 0 + ⁡ f ´ ( x ) = 0elim x → 0 - ⁡ f ´ ( x ) = 0 . (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra ( a )
23. Dada f x = x 2 - 9 . (a) Prove que f é contínua em - ∞ , - 3e3 , + ∞ . (b) Prove que nem f ´ - - 3 nem f ´ + ( 3 ) existem. (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra (c)
23. Dada f x = x 2 - 9 . (a) Prove que f é contínua em - ∞ , - 3e3 , + ∞ . (b) Prove que nem f ´ - - 3 nem f ´ + ( 3 ) existem. (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra (b)