Enunciado

Suponha que a função velocidade de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo s seja v t = 20 t 2 - 100 t + 50 m/s e que a partícula está na srcem no instante t = 0 . Use um recurso gráfico computacional para gerar os gráficos de s t , v t e a t nos primeiros 6 segundos do movimento.

Passo 1

Vamos achar as equações de s t e de a t , para encontrar s ( t ) vamos integrar a equação de v t :

s t = ∫ v t d t = ∫ 20 t 2 - 100 t + 50   d t = 20 t 3 3 - 100 t 2 2 + 50 t + C =

= 20 t 3 3 - 50 t 2 + 50 t + C

Agora temos que achar a constante, vamos usar o dado do enunciado que na origem t = 0 :

s t = 20 t 3 3 - 50 t 2 + 50 t + C → 0 = 20 ⋅ 0 3 3 - 50 ⋅ 0 2 + 50 ⋅ 0 + C → C = 0

Assim temos:

s t = 20 t 3 3 - 50 t 2 + 50 t

Passo 2

Pronto, agora para achar a aceleração vamos derivar a velocidade:

a t = v ' t = 20 t 2 - 100 t + 50   ' = 20 ⋅ 2 ⋅ t 2 - 1 - 100 + 0 = 40 t - 100

Passo 3

Agora podemos traçar o gráfico das funções, com a de s t em vermelho, v t em azul e a t em verde:

Resposta

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Em cada parte, use um CAS para resolver o problema de valor inicial. a d y d x = x 2 cos ⁡ 3 x , y π 2 = - 1 b d y d x = x 3 4 + x 2 3 / 2 , y 0 = - 2
Faça uma crítica da “demosntração” seguinte de que toda constante de integração é nula. C = ∫ 0d x = ∫ 0 ⋅ 0d x = 0 ∫ 0d x = 0
Os campos de direções dados correspondem a uma das equações diferenciais abaixo. Identifique a equação diferencial que combina com a figura e esboce curvas e soluções pelos pontos destacados.
Os campos de direções dados correspondem a uma das equações diferenciais abaixo. Identifique a equação diferencial que combina com a figura e esboce curvas e soluções pelos pontos destacados.
Encontre uma equação da curva que satisfaz as condições dadas.Em cada ponto ( x ,y ) da curva, y satisfaz a condição d 2 y / d x 2 = 6 x ; a reta y = 5 - 3 x é tangente à curva no ponto onde x = 1 .