Enunciado

Suponha que f ' ( x ) <= 1 para 1 <= x <= 4 . Mostre que f (4) - f (1) <= 3 .

Passo 1

Para mostrarmos o que o exercício pede devemos nos lembrar que se a derivada tem valor menor ou igual a 1 em um certo intervalo, nossa função f (x) é diferenciável dentro desse intervalo, isso vai implicar que nossa função será continua dentro desse intervalo e , portanto, satisfaz as condições do teorema do valor médio.

Passo 2

Pelo teorema do valor médio temos que uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e derivável em (a,b) implica em haver pelo menos um ponto C dentro desse intervalo tal que

(f (b) - f (a))/(b - a) = f ' ( c )

Para o nosso intervalo [1,4] teremos

(f (4) - f (1))/(4 - 1) = f ' ( c )

(f (4) - f (1))/(3) = f ' ( c )

Como f^' (x) <= 1 , então, f^' (c) <= 1 .

Passo 3

Substituindo f^' (c) teremos

f^' (c) <= 1

(f (4) - f (1))/(3) <= 1

Resolvendo a inequação, passando o 3 para o outro lado multiplicando, obtemos

f (4) - f (1) <= 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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