Suponha que f'(x) <= 1 para 1 <= x <= 4 . Mostre que f(4) - f(1) <= 3 .

Passo 1

Para mostrarmos o que o exercício pede devemos nos lembrar que se a derivada tem valor menor ou igual a 1 em um certo intervalo, nossa função f x é diferenciável dentro desse intervalo, isso vai implicar que nossa função será continua dentro desse intervalo e , portanto, satisfaz as condições do teorema do valor médio.

Passo 2

Pelo teorema do valor médio temos que uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e derivável em (a,b) implica em haver pelo menos um ponto C dentro desse intervalo tal que

f b - f a b - a = f ' ( c )

Para o nosso intervalo 1,4 teremos

f 4 - f 1 4 - 1 = f ' ( c )

f 4 - f 1 3 = f ' ( c )

Como f ' x ≤ 1 , então, f ' c ≤ 1   .

Passo 3

Substituindo f ' c teremos

f ' c ≤ 1

f 4 - f 1 3 ≤ 1

Resolvendo a inequação, passando o 3 para o outro lado multiplicando, obtemos

f 4 - f 1 ≤ 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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