Enunciado

O Exercício fornece a velocidade v   = d s d t e a posição inicial de um corpo que se desloca ao longo de uma reta coordenada. Determine a posição do corpo no instante t para o seguinte caso:

v   =   32 t - 2 ,     s ( 0 . 5 )   =   4

Passo 1

Queremos encontrar a função s ( t ) a partir da análise da função v ( t ) que, como o enunciado nos mostrou, é a sua derivada. Assim, utilizaremos as regras de derivação no sentido inverso para encontrarmos a solução do nosso problema.

Passo 2

Como a nossa função v ( t ) tem a forma v   =   16 * 2 t -   2 podemos imaginar que como o expoente da variável t que acompanha o 32 é 1 , na função antes de derivamos tínhamos um t 2 e como o - 2 aparece sozinho podemos pensar que na função de origem nós tínhamos um t elevado ao expoente 1 devido a regra da derivação de polinômio se f x = x n → f ' x = n * x n - 1 .

Passo 3

Sendo assim, podemos imaginar uma função g t tal que g t = 16 t 2 - 2 t e observamos que g ' t = v   t = s ' ( t ) . Como consequência direta do teorema do valor médio temos um corolário que diz que se encontrarmos uma função g x tal que s ' x = g ' ( x ) para todo valor de x em um intervalo, então, existe uma constante C tal que s x = g x + C . Dessa forma, podemos fazer o seguinte:

s t = g t + C

s t = 16 t 2 - 2 t + C

Utilizando a condição inicial dada s 0 . 5 = 4 , temos:

s 0 . 5 = 16 * 1 2 2 - 2 * 1 2 + C

4 = 16 * 1 4 - 1 + C

4 = 4 - 1 + C

C = 4 - 4 + 1

C = 1

Logo, para um instante de tempo t qualquer, nossa função s ( t ) será:

s t = 16 t 2 - 2 t + 1

Resposta

∴ s t = 16 t 2 - 2 t + 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstre que se f"O ao longo de todo um intervalo [a, b], então f' tem no máximo uma raiz em [a, b]. E se, em vez disso, f"
Determine todas as funções possíveis com a derivada y '= x .
Determine todas as funções possíveis com a derivada y '= x 2 .
Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' = 2 x - 1 .
Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' = 3 x 2 + 2 x - 1 .