Enunciado

Suponha que uma partícula move-se ao longo de uma reta coordenada com aceleração constante. Mostre que a velocidade média da partícula ao longo do intervalo [ a ,   b ] é igual à velocidade que ela tem no ponto médio do intervalo.

Passo 1

Quando a aceleração a 0 de uma partícula é constante, vale a relação:

v t = v 0 + a 0 t

O ponto médio do intervalo é:

t = a + b 2

Substituindo na fórmula:

v a + b 2 = v 0 + a 0 a + b 2

Precisamos provar que a velocidade média da partícula no intervalo [ a , b ] é igual a esse valor aí. Vem comigo!

Passo 2

A fórmula do valor médio de uma função é:

f m = 1 b - a ∫ a b f ( x ) d x

Usando a função da velocidade v ( t ) nessa fórmula, a velocidade média fica:

v m = 1 b - a ∫ a b v t d t = 1 b - a ∫ a b v 0 + a 0 t d t

v m = 1 b - a v 0 b - a + a 0 2 b 2 - a 2

Lembrando do produto notável e rearrumando:

v m = 1 b - a v 0 b - a + a 0 2 ( b - a ) ( b + a )

v m = v 0 + a 0 2 ( b + a )

E isso é igualzinho ao valor de:

v a + b 2 = v 0 + a 0 a + b 2

Conseguimos!

Resposta

Prova nos passos

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