Enunciado

(a) Dê um argumento geométrico para mostrar que

1 x + 1 < ∫ x x + 1 1 t d t < 1 x ,     x > 0

(b) Use o resultado de (a) para provar que

1 x + 1 < ln ⁡ 1 + 1 x < 1 x ,     x > 0

(c) Use o resultado de (b) para provar que

e x / ( x + 1 ) < 1 + 1 x x < e ,     x > 0

e, portanto, que

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x x = e

(d) Use o resultado em (b) para provar que

1 + 1 x x < e < 1 + 1 x x + 1 ,     x > 0

Passo 1

(a) Vamos refletir. A gente tem que:

x < t < x + 1

E essa integral do meio calcula a área embaixo da curva 1 / t , entre esses valores de t . Vamos colocar isso num gráfico:

A área que a gente quer achar está entre x e x + 1 , e abaixo dessa curva azul. Repara que essa área é menor do que o retângulo de área:

A 1 = 1 x ⋅ ( 1 )

Mas é maior do que o retângulo de área:

A 2 = 1 x + 1 ⋅ ( 1 )

Colocando isso numa inequação:

1 x + 1 ⋅ 1 < ∫ x x + 1 1 t d t < 1 x ⋅ 1

1 x + 1 < ∫ x x + 1 1 t d t < 1 x

E isso é exatamente o que precisávamos provar!

Passo 2

(b) Vamos calcular a integral do meio da inequação:

∫ x x + 1 1 t d t = ln ⁡ x + 1 - ln ⁡ x

Lembrando das propriedades de log:

∫ x x + 1 1 t d t = ln ⁡ x + 1 - ln ⁡ x = ln ⁡ x + 1 x = ln ⁡ 1 + 1 x

Substituindo isso na inequação:

1 x + 1 < ln ⁡ 1 + 1 x < 1 x

Passo 3

(c) Vamos partir da inequação:

1 x + 1 < ln ⁡ 1 + 1 x < 1 x

Podemos aplicar a função exponencial natural em todos os termos:

e 1 x + 1 < 1 + 1 x < e 1 x

Depois elevar todos os termos a x e usar propriedade de potência:

e 1 x + 1 x < 1 + 1 x x < e 1 x x

e x x + 1 < 1 + 1 x x < e

Passo 4

Vamos aplicar o limite de x → ∞ em todos os termos:

lim x → ∞ ⁡ e x x + 1 < lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x x < lim x → ∞ ⁡ e

Resolvendo o da direita separadamente:

lim x → ∞ ⁡ e x x + 1 = e lim x → ∞ ⁡ x x + 1

Se substituirmos x → ∞ , ele vai dar uma indeterminação ∞ / ∞ . Podemos usar L’Hospital:

lim x → ∞ ⁡ x x + 1 → L ' H → lim x → ∞ ⁡ 1 1 = 1

Voltando para as continhas de cima:

lim x → ∞ ⁡ e x x + 1 = e lim x → ∞ ⁡ x x + 1 = e

E a nossa inequação fica:

lim x → ∞ ⁡ e x x + 1 < lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x x < lim x → ∞ ⁡ e

e < lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x x < e

Pelo Teorema do Confronto, a gente tem que:

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x x = e

Passo 5

(d) Na letra (c) a gente já tinha saído de (b) e chegado em

e x x + 1 < 1 + 1 x x < e

Daí a gente já tem que:

1 + 1 x x < e

Vamos agora trabalhar com:

e x x + 1 < 1 + 1 x x

Podemos elevar os dois lados a x + 1 x e usar propriedade de potência:

e < 1 + 1 x x + 1

Juntando as duas inequações:

1 + 1 x x < e < 1 + 1 x x + 1

Resposta

Prova nos passos

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