Enunciado

Suponha que a população de bactérias aeróbicas em um pequeno lago seja modelada pela equação

P t =   60 5 + 7 e - t

Onde P ( t ) é a população (em bilhões) t dias depois da observação inicial no tempo t   = 0 .

(a) Use um recurso computacional para fazer o gráfico da função P ( t ) .

(b) Descreva o que acontececom a população no decorrer do tempo. Verifique sua conclusão encontrando lim t → ∞ ⁡ P ( t ) .

(c) Descreva o que acontece com a taxa de crescimento populacional no decorrer do tempo. Verifique sua conclusão fazendo o gráfico de P ' ( t ) .

Passo 1

(a)

Usando recursos computacionais chegamos no seguinte gráfico:

É importante lembrar que não faz tanto sentido pegar a parte do gráfico aonde t < 0 , pois t é uma quantidade de dias e a observação inicial acontece em t = 0 .

Passo 2

(b)

Com a população depende do ar, elas devem crescer até tender a um certo valor limite.

Olhando para o gráfico conseguimos perceber que a população de bactérias aeróbicas ao longo do tempo aumenta, com tendência de chegar a um valor um pouco acima de 10 bilhões para um período de dias muito longo.

lim t → ∞ ⁡ P ( t ) = 60 5 + 7 e - t

Para t → ∞ ,     e - t → 0

Então:

lim t → ∞ ⁡ P ( t ) = 60 5 + 7 ( 0 ) =   60 5 = 12

De fato, para períodos muito grandes de tempo população de bactérias aeróbicas tende a 12   b i l h õ e s .

Passo 3

(c)

Quanto mais bactérias aeróbicas, menor a quantidade de oxigênio disponível para o crescimento de mais bactérias. Ou seja, pra períodos muito grandes essa taxa de crescimento tende a diminuir e ir a zero.

Achando P ' ( x )

P ' t = (   60 5 + 7 e - t   ) '

Usando a regra da derivação da divisão:

P ' t =   60 ' 5 + 7 e - t - ( 60 ) ( 5 + 7 e - t ) ' 5 + 7 e - t 2  

P ' t =   - ( 60 ) ( 5 + 7 e - t ) ' 5 + 7 e - t 2  

P ' t =   - ( 60 ) ( - 7 e - t ) 5 + 7 e - t 2

P ' t =   420   e - t 5 + 7 e - t 2

Se obtivermos o gráfico de P ' ( x ) :

De fato, para períodos de tempo muito longos a taxa de crescimento tende a zero.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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