Enunciado

Suponha que uma população p de rãs em um lago está estimada no começo de 2010 em 100.000, e que o modelo de crescimento para a população p ( t ) supõe que a taxa de crescimento (em milhares) após t anos será de p ' t = 3 + 0,12 t 3 2 . Estime a população projetada para o começo do ano de 2015.

Passo 1

Como a gente tem a taxa de crescimento (derivada) podemos integrar a função p ' ( t ) para descobrir a função da população p ( t ) . Vamos lá então:

p t = ∫ 3 + 0,12 t 3 2   d t

Vamos fazer a substituição u = 3 + 0,12   t → d u = 0,12   d t .

Remontando a integral:

= 1 0,12 ∫ u 3 2 d u

= 1 0,12 2 5 u 5 2

= 1 0,3 u 5 2

Vamos voltar para a variável t agora:

p ( t ) = 1 0,3 3 + 0,12 t 5 2 + C

Beleza, chegamos a uma solução geral da função.

Passo 2

Vamos usar o valor inicial para descobrir esse C . Vamos considerar que o ano de 2010 é o ano zero. Aí a gente tem que:

p 0 = 100000

Substituindo isso na função que a gente achou:

p 0 = 1 0,3 3 + 0 5 2 + C = 100000

= 1 0,3 3 5 2 + C = 100000

= 51,96 + C = 100000  

C ≅ 99   948,04

A função então é:

p t = 1 0,3 3 + 0,12 t 5 2 + 99   948,04

A gente quer saber o valor dessa função em t = 5 . Então bora lá!

Passo 3

p 5 = 1 0,3 3 + 0,12 ⋅ 5 5 2 + 99   948,04

= 3,33 3,6 5 2 + 99   948,04

= 81,884 + 99   948,04

= 100   029 ,   92

Então essa é a população estimada para o início de 2015.

Resposta

100   029 ,   92

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