Enunciado

Suponha que a posição de uma partícula no eixo x seja dada por

x = 3 cos ⁡ t + 4   s e n   t

Em que x é medido em pés e t é medido em segundos.

  1. Determine o deslocamento da mola quando t = 0 , t = π / 2 e t = π .
  2. Determine a velocidade da mola quando t = 0 , t = π / 2 e t = π .

Passo 1

Para determinarmos a posição da mola em cada tempo, precisamos substituir o valor de t na equação de posição da mola. Como a equação da posição já nos foi dada, podemos fazer uma substituição direta para obter as posições.

Já para calcular a velocidade, temos que descobrir a sua função anteriormente. Para isto, basta lembrar da física que, dada a função de posição x ( t ) , a velocidade pode ser obtida por:

v t = x ˙ t = d d t x ( t )

Portanto, basta derivarmos a função posição. Após obtermos a função velocidade, basta substituirmos os valores de t nela para obter a velocidade em cada tempo dado.

Passo 2

Precisamos determinar a função velocidade. Para isto, vamos derivar a função posição. Logo, temos:

v t = d d t 3 cos ⁡ t + 4   s e n   t = - 3 ⋅ s e n   t + 4 cos ⁡   t

Passo 3

Vamos calcular as posições para cada tempo separadamente. Para t = 0 , temos:

v 0 = - 3 ⋅ s e n   0 + 4 cos ⁡   0 = 4   p é s / s

Passo 4

Para t = π / 2 , temos:

v π 2 = - 3 ⋅ s e n   π 2 + 4 cos ⁡ π 2 = - 3   p é s / s

v π 2 = - 3   p é s / s

Passo 5

Para t = π , temos:

v π = - 3 ⋅ s e n   π + 4 cos ⁡ π = - 4   p é s / s

v π = - 4   p é s / s

Resposta

Para t = 0 , v 0 = 4   p é s / s .

Para t = π / 2   , v π / 2   = - 3   p é s / s .

Para t = π   , v π = - 4   p é s / s .

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