Enunciado

Coeficientes angulares no gráfico da função tangente: Esboce em apenas um gráfico y = t g   ( x ) e sua derivada em ( - π / 2 ,   π / 2 ) . O gráfico da função tangente parece ter um coeficiente angular mínimo? E máximo? Em algum momento o coeficiente angular é negativo? Justifique suas respostas.

Passo 1

Esta é uma questão que necessita de recursos tecnológicos. Precisamos obter os gráficos da função tangente e da sua derivada no intervalo de x variando entre ( - π / 2 ,   π / 2 ) . A partir destes gráficos, precisamos fazer múltiplas interpretações. Para a análise da nossa questão fluir bem, precisamos entender muito bem um ponto: como obtemos numericamente o coeficiente angular de uma reta?

O valor do coeficiente angular de uma função nada mais é do que a imagem da derivada dessa função. Isto é, se temos uma função y = f ( x ) , os valores y ' = f ' ( x ) são os coeficientes angulares da função f ( x ) no ponto x .

Agora que relembramos este conceito, vamos direto as contas!

Passo 2

Primeiramente, vamos obter a derivada da função y = t g   ( x ) . Sendo assim, temos:

y ' = t g   x ' = sec 2 ⁡ ( x )

Passo 3

Vamos agora obter a curva das funções y = t g ( x ) e y ' = sec 2 ⁡ ( x ) no intervalo ( - π / 2 ,   π / 2 ) . Sendo assim, temos:

Passo 4

Agora que obtemos os gráficos, vamos extrair todas as informações possíveis. Para isto, estudaremos a imagem da função sec 2 ⁡ x . Como podemos observar pelo gráfico, a imagem é o conjunto [ 1 , ∞ ) . Logo, possui um ponto de mínimo e não possui máximo. Sendo assim, temos:

  • A função tangente possui um coeficiente angular mínimo igual a 1;
  • Ela não possui coeficiente angular máximo, visto que tende ao infinito;
  • Em nenhum momento o valor de sec 2 ⁡ x é negativo. Portanto, a função tangente não possui coeficiente angular negativo (ela é estritamente crescente).

Resposta

A função tangente possui coeficiente angular mínimo igual a 1 e não possui valor máximo. Além disto, o coeficiente nunca é negativo.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico de f é dado. Diga, explicando quais, os números em que f não é diferenciável
Se f t = t 2 - t , encontre f ' ( t ) Verifique se sua resposta na parte (a) foi razoável comparando os gráficos de f e f ' .
Se f x = x 4 + 2 x , encontre f ' ( x ) Verifique se sua resposta na parte (a) foi razoável comparando os gráficos de f e f ' .
Seja f x = x 3 Se a ≠ 0 , use a equação 2.7.5 para encontrar f ' ( a ) Mostre que f ' ( 0 ) não existeMostre que y = x 3 tem uma reta tangente vertical em (0,0). (Lembre-se da forma do gráfico de f .
Seja P ( t ) a porcentagem da população das Filipinas com idade maior que 60 anos no instante t . A tabela fornece projeções dos valores desta função de 1995 a 2020. Qual o significado de P ' ( t ) ?