Enunciado

Um avião está voando a uma velocidade de 300 km/h, a uma altitude de 4 km. Se um observador está no chão, ache a taxa de variação no tempo da medida do ângulo de elevação do avião em relação ao observador, quando ele está sobre um ponto do solo a 2 km do observador.

Passo 1

Esse vai ser um problema de taxas relacionadas, a primeira coisa a tentar se fazer neste tipo de questão é um esboço do que está acontecendo, olhem na imagem abaixo como facilita o entendimento.

Temos o avião a uma altitude de 4 km, um observador a uma distância x de um ponto D que é a projeção da sombra do avião e o ângulo α de elevação do do avião em relação ao observador. Queremos a taxa de variação deste ângulo quando o x = 2 .

Precisamos descobrir d α d t e temos a velocidade do avião, que é a taxa de variação do nosso x em relação ao tempo. Já que ele mantém a mesma altitude, sua trajetoria é horizontal. Sendo assim, d x d t = 300 .

Passo 2

Precisamos descobrir uma expressão para α . Para achar d α d t , temos das relações trigonométricas:

cot ⁡ α = x 4

Então α = cot - 1 ⁡ x 4 .

Passo 3

Para achar d α d t precisamos derivar implicitamente a expressão de α em relação ao tempo. Vamos então tomar a derivada de ambos os lados:

d α d t = d d t cot - 1 ⁡ x 4

Agora devemos lembrar que cot - 1 ⁡ u ' = - u ' 1 + u 2 em que u é uma função. Aplicando a fórmula, ficamos com:

d α d t = - x 4 ' 1 + x 4 2 = - 1 4 d x d t 1 + x 2 16 = - 1 4 d x d t 16 + x 2 16 = - 16 4 d x d t 16 + x 2 = - 4 d x d t 16 + x 2

Lembre-se que derivamos acima implicitamente em relação a t . Chegamos então em:

d α d t = - 4 d x d t 16 + x 2

Passo 4

Agora vamos substituir d x d t = 300 .

d α d t = - 4 ⋅ 300 16 + x 2 = - 1200 16 + x 2

Passo 5

Nesta etapa vamos substituir o x = 2 , que é quando o avião está sobre um ponto do solo a 2 km do observador. Sendo assim, quando x = 2

d α d t = - 1200 16 + 2 2 = - 1200 20 = - 60

d α d t = - 60

Daí a taxa de variação no tempo da medida do ângulo de elevação do avião em relação ao observador é decrescente à taxa de 60 rad/h.

Resposta

Decrescente à taxa de 60 rad/h

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