Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.1 - Ex. 45
Suponha que a posição de uma partícula no instante seja dada por
E que a posição de uma segunda partícula seja dada por
- Trace as trajetórias de ambas as partículas. Quantos pontos de interseção existem?
- Alguns desses pontos de interseção são pontos de colisão?Em outras palavras, essas partículas algumas vez estão no mesmo lugar ao mesmo tempo? Se isso ocorrer, encontre os pontos de colisão.
- Descreva o que acontecerá se a trajetória da segunda partícula for dada por
Passo 1
Primeiro vamos identificar o que essas trajetórias representam né.
Vamos isolar o seno e cosseno nas parametrizações.
Para a primeira partícula temos:
Usando a relação fundamental da trigonometria:
E temos que a trajetória da primeira partícula representa uma elipse, com centro na origem e semieixo horizontal igual a 3 e semieixo vertical igual a 2.
Passo 2
Agora vamos fazer a mesma coisa para a trajetória da segunda partícula.
Relação fundamental da trigonometria:
E temos a equação de uma circunferência com centro em e raio 1.
Passo 3
Agora esboçando a elipse e a cincunferencia no mesmo desenho:
Vemos que há 2 pontos de interseção.
Passo 4
Agora vamos descobrir se há pontos de colisão.
Para isso é só igualar as trajetórias e vê se há algum instante que satisfaz o sistema.
Da primeira equação, tiramos que
Substituindo isso na segunda equação:
Logo, existe um ponto de colisão, que ocorre quando
E para descobrir esse ponto é só escolher uma das trajetórias e substituir:
Logo, as partículas colidem no o ponto .
Passo 5
Agora se a trajetória 2 fosse
Repara que só muda o sinal do em relação a trajetória anterior. Então ela continua sendo uma circunferência de raio , só que agora, o centro dela não está mais em , mas sim em .
O que significa que aquele desenho que fizemos no passo 3 estaria espelhado para a parte positiva do eixo . Mas as trajetórias continuariam se cruzando em dois pontos.
Show, até aí nada muda.
Passo 6
Agora vamos ver se muda algo em relação as partículas se colidirem.
Igualando as trajetórias:
Da primeira equação, tiramos que
Substituindo isso na segunda equação:
E isso é impossível.
O que significa que se a trajetória fosse desse jeito que fala na letra , as partículas não iam se colidir.
Resposta
Há dois pontos de interseção.
As partículas colidem no o ponto .
As partículas não iam se colidir, mas continuariam tendo dois pontos de cruzamento.