Enunciado

Suponha que a posição de uma partícula no instante t seja dada por

x 1 = 3 sen ⁡ t

y 1 = 2 cos ⁡ t

0 ≤ t ≤ 2 π

E que a posição de uma segunda partícula seja dada por

x 2 = - 3 + cos ⁡ t

y 2 = 1 + sen ⁡ t

0 ≤ t ≤ 2 π

  1. Trace as trajetórias de ambas as partículas. Quantos pontos de interseção existem?
  2. Alguns desses pontos de interseção são pontos de colisão?Em outras palavras, essas partículas algumas vez estão no mesmo lugar ao mesmo tempo? Se isso ocorrer, encontre os pontos de colisão.
  3. Descreva o que acontecerá se a trajetória da segunda partícula for dada por

x 2 = 3 + cos ⁡ t

y 2 = 1 + sen ⁡ t

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

a )

Primeiro vamos identificar o que essas trajetórias representam né.

Vamos isolar o seno e cosseno nas parametrizações.

Para a primeira partícula temos:

sen ⁡ t = x 1 3

cos ⁡ t = y 1 2

Usando a relação fundamental da trigonometria:

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

y 1 2 2 + x 1 3 2 = 1

E temos que a trajetória da primeira partícula representa uma elipse, com centro na origem e semieixo horizontal igual a 3 e semieixo vertical igual a 2.

Passo 2

Agora vamos fazer a mesma coisa para a trajetória da segunda partícula.

cos ⁡ t = x 2 + 3

sen ⁡ t = y 2 - 1

Relação fundamental da trigonometria:

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

x 2 + 3 2 + y 2 - 1 2 = 1

E temos a equação de uma circunferência com centro em ( - 3,1 ) e raio 1.

Passo 3

Agora esboçando a elipse e a cincunferencia no mesmo desenho:

Vemos que há 2 pontos de interseção.

Passo 4

b )

Agora vamos descobrir se há pontos de colisão.

Para isso é só igualar as trajetórias e vê se há algum instante t que satisfaz o sistema.

x 1 , y 1 = ( x 2 , y 2 )

3 sen ⁡ t = - 3 + cos ⁡ t

2 cos ⁡ t = 1 + sen ⁡ t

Da primeira equação, tiramos que

cos ⁡ t = 3 sen ⁡ t + 3

Substituindo isso na segunda equação:

2 3 sen ⁡ t + 3 = 1 + sen ⁡ t

6 sen ⁡ t + 6 = 1 + sen ⁡ t

5 sen ⁡ t = - 5

sen ⁡ t = - 1

t = 3 π 2

Logo, existe um ponto de colisão, que ocorre quando t = 3 π 2

E para descobrir esse ponto é só escolher uma das trajetórias e substituir:

x 1 = 3 sen ⁡ 3 π 2 = - 3  

y 1 = 2 cos ⁡ 3 π 2 = 0

Logo, as partículas colidem no o ponto ( - 3,0 ) .

Passo 5

c )

Agora se a trajetória 2 fosse

x 2 = 3 + cos ⁡ t

y 2 = 1 + sen ⁡ t

Repara que só muda o sinal do 3 em relação a trajetória anterior. Então ela continua sendo uma circunferência de raio 1 , só que agora, o centro dela não está mais em ( - 3,1 ) , mas sim em ( 3,1 ) .

O que significa que aquele desenho que fizemos no passo 3 estaria espelhado para a parte positiva do eixo x . Mas as trajetórias continuariam se cruzando em dois pontos.

Show, até aí nada muda.

Passo 6

Agora vamos ver se muda algo em relação as partículas se colidirem.

Igualando as trajetórias:

x 1 , y 1 = ( x 2 , y 2 )

3 sen ⁡ t = 3 + cos ⁡ t

2 cos ⁡ t = 1 + sen ⁡ t

Da primeira equação, tiramos que

cos ⁡ t = 3 sen ⁡ t - 3

Substituindo isso na segunda equação:

2 3 sen ⁡ t - 3 = 1 + sen ⁡ t

6 sen ⁡ t - 6 = 1 + sen ⁡ t

5 sen ⁡ t = 7

sen ⁡ t = 7 5

E isso é impossível.

O que significa que se a trajetória fosse desse jeito que fala na letra c , as partículas não iam se colidir.

Resposta

a )

Há dois pontos de interseção.

b )

As partículas colidem no o ponto ( - 3,0 ) .

c )

As partículas não iam se colidir, mas continuariam tendo dois pontos de cruzamento.

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