Enunciado

Teste a convergência ou divergência das séries.

sum_(n = 2)^(oo) (1)/((ln n)^(ln n))

Passo 1

Galera, note que podemos reescrever o denominador assim:

(ln n)^(ln n) = (e^(ln (ln n)))^(ln n) = (e^(ln n))^(ln (ln n)) = n^(ln (ln n))

Nós usaremos isso daqui a pouco.

Passo 2

Se fizermos n -> oo , então teremos:

ln (ln n) -> ln (ln (oo)) -> ln (oo) -> oo

Isso significa que podemos fazer com que ln (ln n) fique tão grande quanto a gente queira, e portanto, podemos ter ln (ln n) > 2 . Quais seriam as consequências disso?

Passo 3

Vamos ver a seguir:

ln (ln n) > 2

n^(ln (ln n)) > n^2

(1)/(n^(ln (ln n))) < (1)/(n^2)

(1)/((ln n)^(ln n)) < (1)/(n^2)

Como sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n^2) converge, então, pelo Teste da Comparação, sum_(n = 2)^(oo) (1)/((ln n)^(ln n)) também converge.

Resposta

Série convergente

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