Enunciado

Suponha que a região entre o eixo x e a curva y = e - x com x ≥ 0 gire em torno do eixo x .

(a) Encontre o volume do sólido que é gerado.

(b) Encontre a área da superfície do sólido.

Passo 1

(a)Pra determinarmos o volume V de um sólido de revolução, podemos usar a seguinte fórmula:

V = π ∫ a b f x - g ( x ) 2 d x

Nesse caso, podemos considerar nossa f x = e - x e g ( x ) , que não é explicitamente dada, vai equivaler a y = 0 , já que se limita a rotação ao eixo x .

Considerando o intervalo de integração desde x = 0 a infinito, temos então:

V = π ∫ 0 + ∞ e - x - 0 2 d x = π ∫ 0 + ∞ e - 2 x d x

Passo 2

Resolvemos a integral diretamente:

V = π ∫ 0 + ∞ e - 2 x d x = - π 2 ∙ e - 2 x 0 + ∞

Como essa é uma integral imprópria, devemos reescrever seu resultado na forma de um limite, da seguinte forma:

- π 2 ∙ e - 2 x 0 + ∞ = lim t → + ∞ ⁡ - π 2 ∙ e - 2 x 0 t =

= - π 2 ∙ l i m t → + ∞ e - 2 x 0 t

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e determinar o resultado da integral, que nos dará o volume do sólido.

Temos:

= - π 2 ∙ l i m t → + ∞ e - 2 x 0 t =

= - π 2 ∙ l i m t → + ∞ e - 2 t - e - 2 ∙ 0 =

= - π 2 ∙ l i m t → + ∞ e - 2 t - 1

Calculamos o limite aplicando + ∞ diretamente em t :

- π 2 ∙ l i m t → + ∞ e - 2 t - 1 = - π 2 ∙ e - 2 ∙ ∞ - 1

A função exponencial quando elevada a um número infinitamente pequeno tende a zero. Temos portanto:

V = - π 2 0 - 1 = π 2   u . v .

Resposta

(a) V = π 2   u . v .

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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ 0 + ∞ 1 x 2 + 3 x + 2d x
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ 1 ∞ x + 1 x 2 + 2 xd x
Determine se a integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Determine se a integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Determine se a integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.