Enunciado

A concentração C t de uma droga na corrente sanguínea t horas após ter sido injetada é usualmente modelada por uma equação da forma

C t = K e - b t - e - a t a - b

onde K > 0 e a > b > 0 .

  1. Em que momento ocorre a concentração máxima?
  2. Para simplificar, tome K = 1 ; use um recurso gráfico computacional para verificar seu resultado da parte (a) fazendo o gráfico de C t para vários valores de a e b .

Passo 1

  1. Vamos lá, encontramos a concentração máxima derivando a função e igualando a zero, vamos fazer isso:
  2. C ' t = K e - b t - e - a t a - b ' = K e - b t ⋅ - b - e - a t ⋅ - a a - b = K - b e - b t + a e - a t a - b

    Igualando a zero:

    C t = 0 → K - b e - b t + a e - a t a - b = 0 → - b e - b t + a e - a t = 0 → b e - b t = a e - a t

    Vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:

    ln ⁡ b e - b t = ln ⁡ a e - a t → ln ⁡ b + ln ⁡ e - b t = ln ⁡ a + ln ⁡ e - a t →

    → ln ⁡ b - b t = ln ⁡ a - a t → - b t + a t = ln ⁡ a - ln ⁡ b → t a - b = ln ⁡ a b → t = 1 a - b ln ⁡ a b

    Passo 2

    Vamos usar o teste da primeira derivada para ver se é um máximo ou mínimo:

    Se f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um máximo relativo em x 0 .

    Se f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um mínimo relativo em x 0 .

    E se f ' x tiver o mesmo sinal tanto em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 quanto em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f não tem extremo relativo em x 0 .

    Vamos supor, K = 1 , a = 2 e b = 1 :

    t = 1 2 - 1 ln ⁡ 2 1 = 0,693 1

    Vamos então analisar as derivadas no intervalo 0 , 68 ; 0 , 7 que contém 0 , 6931 :

    f ' 0 , 68 = 1 ⋅ - 1 ⋅ e - 1 ⋅ 0,68 + 2 ⋅ e - 2 ⋅ 0,68 2 - 1 = 6,704 ⋅ 10 - 3

    f ' 0 , 7 = 1 ⋅ - 1 ⋅ e - 1 ⋅ 0 , 7 + 2 ⋅ e - 2 ⋅ 0 , 7 2 - 1 = - 3,391 ⋅ 10 - 3

    Pronto, temos então que f ' 0,68 > 0 e f ' 0 , 7 < 0 , então f tem um máximo relativo em 0,693 1 , então em t = 1 a - b ln ⁡ a b temos a concentração máxima.

    Passo 3

  3. Vamos plotar o gráfico usando K = 1 , a = 2 e b = 1 , depois K = 1 , a = 3 e b = 1 e K = 1 , a = 3 e b = 2 temos:

C t = K e - b t - e - a t a - b = 1 ⋅ e - 1 ⋅ t - e - 2 ⋅ t 2 - 1 = e - t - e - 2 t 1 = e - t - e - 2 t

C t = K e - b t - e - a t a - b = 1 ⋅ e - 1 ⋅ t - e - 3 ⋅ t 3 - 1 = e - t - e - 3 t 2

C t = K e - b t - e - a t a - b = 1 ⋅ e - 2 ⋅ t - e - 3 ⋅ t 3 - 2 = e - 2 t - e - 3 t 1 = e - 2 t - e - 3 t

Pronto, pelo gráfico vemos que tem um máximo em 0,693 1 .

Resposta

  1. t = 1 a - b ln ⁡ a b
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Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f nos intervalos fechados dados e indique onde ocorrem esses valores9. f x = x - 2 3 ; [ 1 , 4 ]
37-50 Use qualquer método para encontrar os extremos da função f .45- f x = l n ⁡ ( 2 + x 2 )
37-50 Use qualquer método para encontrar os extremos da função f .43- f x = x + 3 x - 2
37-50 Use qualquer método para encontrar os extremos relativos da função f . 44.f x = x 2 x 4 + 16
37-50 Use qualquer método para encontrar os extremos da função f .47- f x = e 2 x - e x