Enunciado

Suponha que a 1 ,   a 2 ,   a 3 ,   . . . ,   a n são números positivos satisfazendo as seguintes condições:

i) a 1 ≥   a 2 ≥   a 3 ≥ … ;

ii) a série a 2 + a 4 + a 8 + a 16 + … diverge.

Mostre que a série

a 1 1 + a 2 2 + a 3 3 + …

diverge.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Temos que a série a 1 1 + a 2 2 + a 3 3 + … pode ser escrita como:

∑ n = 1 ∞ a n n = a 1 1 + a 2 2 + a 3 3 + …

Manipulando matematicamente tal série, temos:

∑ n = 1 ∞ a n n = a 1 1 + a 2 2 + a 3 3 + … = a 1 + 1 2 a 2 + 1 3 + 1 4 a 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 a 8 + …

∑ n = 1 ∞ a n n = a 1 1 + a 2 2 + a 3 3 + … ≥ 1 2 ( a 2 + a 4 + a 8 + … )

Por comparação, como a série a 2 + a 4 + a 8 + … ) é divergente, então ∑ n = 1 ∞ a n n também é divergente.

Como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a demonstração acima.

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