Enunciado

Encontre as somas das séries nos Exercícios 19-24

20. ∑ n = 2 ∞ - 2 n ( n + 1 )

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Consideremos a decomposição da fração parcial de uma fração racional no argumento da série

- 2 n n + 1 = A n + B n + 1

Desenvolvendo os termos

- 2 n n + 1 = n A + B + A n n + 1

Esta decomposição fornece o sistema de equação linear

A + B = 0 A = - 2 → A = - 2 B = - A = 2

Portanto,

- 2 n n + 1 = - 2 n + 2 n + 1

Colocando o - 2 em evidência

- 2 n n + 1 = - 2 1 n - 1 n + 1

Passo 2

Vamos considerar que a n = 1 n , então, a série pode ser reescrita como

∑ n = 2 ∞ - 2 n n + 1 = - 2 ∑ n = 2 ∞ 1 n - 1 n + 1

Com isso, nós temos que

∑ n = 2 ∞ - 2 n n + 1 = - 2 ∑ n = 2 ∞ a n - a n + 1

É possível notar que a série

∑ n = 2 ∞ a n - a n + 1

É uma série ``telescópica''. A soma desta série é

∑ n = 2 ∞ a n - a n + 1 = a 2 - lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1

Com isso, nós temos que

∑ n = 2 ∞ a n - a n + 1 = 1 2 - lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 = 1 2

Portanto,

∑ n = 2 ∞ - 2 n n + 1 = - 2 1 2 = - 1

Resposta

∑ n = 2 ∞ - 2 n n + 1 = - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-6, encontre a fórmula para a n-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
Nos Exercícios 1-6, encontre a fórmula para a n-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
Nos Exercícios 1-6, encontre a fórmula para a n-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
(Continuação do Exercício 81.) Você é capaz de fazer uma série infinita de termos diferentes de zero que convirja para qualquer número que quiser? Explique.
Componha uma série infinita de termos diferentes de zero cuja soma seja:b. - 3