Enunciado

Prove que tanto a sequência { x n } quanto a série ∑ k = 1 ∞ ( x k + 1 - x k ) convergem ou divergem, simultaneamente.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Queremos provar que a sequência { x n } e a série ∑ k = 1 ∞ ( x k + 1 - x k ) ambas convergem ou divergem juntas.

Seja { s n } a soma parcial da série ∑ k = 1 ∞ ( x k + 1 - x k ) , então temos que:

s n = ∑ k = 1 ∞ ( x k + 1 - x k ) = x 2 - x 1 + x 3 - x 2 + … + x n + 1 - x n =   x n + 1 - x 1

Primeiramente, vamos considerar que a sequência { x n } converge e o limite é L, então temos:

lim n → ∞ ⁡ x n = L   ⟹ lim n → ∞ ⁡ x n + 1 = L  

Sendo assim, temos que:

lim n → ∞ ⁡ s n =   lim n → ∞ ⁡ ( x n + 1 - x 1 ) = L - x 1

Logo, a série ∑ k = 1 ∞ ( x k + 1 - x k ) é convergente pois a sequência { s n } converge.

Agora, vamos considerar que a sequência { x n } diverge e o limite lim n → ∞ ⁡ x n + 1 não existe.

Isso implica que a { s n } é divergente, portanto, a série ∑ k = 1 ∞ ( x k + 1 - x k ) também é divergente.

Como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a demonstração acima.

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