Enunciado

Suponha que f seja derivável em R e seja α um número real. Seja F x = f ( x α ) e G ( x ) = f ( x ) α . Encontre as expressões para

  1. F ' ( x ) e (b) G ' ( x ) .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar as expressões para as seguintes derivadas:

  1. F ' ( x ) ;
  2. G ' ( x ) .

Dado que:

F x = f ( x α )

E

G ( x ) = f ( x ) α

Para resolver essa questão podemos apenas pegar a definição da regra da cadeia, onde temos que se:

F x = f ( g x )

Então:

F ' x = f ' g x . g ' ( x )

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

  1. Assim, como queremos F ' ( x ) , ou seja, a derivada de F , é só usar a expressão vista no passo anterior:
  2. F ' x = f ' g x . g ' x ∴

    F ' x = f ' x α . x α '

    Vamos derivar o segundo termo usando a regra de derivação do polinômio:

    x n ' = n x n - 1

    Vamos lá então:

    F ' x = f ' x α . x α ' ∴

    F ' x = f ' x α . α x α - 1

    Passo 3

  3. Assim, como queremos G ' ( x ) , ou seja, a derivada de G , é só usar a expressão vista no passo 1 e usando também a regra do polinômio vista no passo 2:

Do polinômio:

x n ' = n x n - 1

Agora é só derivar:

G ' x = f ' g x . g ' x ∴

G ' x = f x α ' ∴

G ' x = α f x α - 1 . f ' x

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

  1. F ' x = f ' x α . α x α - 1
  2. G ' x = α f x α - 1 . f ' x
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