Enunciado

Encontre a 1000ª derivada de f (x) = x e^(- x) .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar a 1000ª derivada da seguinte função:

f (x) = x e^(- x)

Provavelmente você deve estar pensando que o livro é louco em pedir para você derivar uma função 1000 vezes....

Bom, na verdade, o que o exercício quer de você é que você derive algumas vezes e tente achar um padrão e, daí, prever qual seria a 1000ª derivada. Vamos tentar fazer isso!!!

Passo 2

Vou denotar a primeira derivada por f^((1)) ( x ) , a segunda derivada por f^((2)) ( x ) , e assim por diante.

A primeira derivada será:

f^((1)) (x) = 1 * e^(- x) + x * e^(- x) * (- 1) = (1 - x) e^(- x)

Tomando as próximas derivadas:

f^((2)) (x) = (- 1) * e^(- x) + (1 - x) * e^(- x) * (- 1) = (x - 2) e^(- x)

f^((3)) (x) = 1 * e^(- x) + (x - 2) * e^(- x) * (- 1) = (3 - x) e^(- x)

f^((4)) (x) = (- 1) * e^(- x) + (3 - x) * e^(- x) * (- 1) = (x - 4) e^(- x)

Passo 3

Já deu para pegar o padrão?

Note que as derivadas pares são do tipo (x - a) e^(- x) e as ímpares são (a - x) e^(- x) , onde a é o índice da derivada.

Como a 1000ª derivada é par, temos que

f^((1000)) (x) = (x - 1000) e^(- x)

Entendeu direitinho?? Respode aee 😉

Resposta

f^((1000)) (x) = (x - 1000) e^(- x)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam g x = e c x + f x e h x = e k x . f ( x ) , onde f 0 = 3 , f ' 0 = 5 e f ' ' 0 = - 2 . Encontre g ' 0 e g ' ' 0 em termos de c .Em termos de k , encontre uma equação da reta tangente para o gráf
Escreva a função composta na forma f ( g ( x ) ) . [Identifique a função de dentro u = g x e a de fora y = f u ]. Então, encontre a derivada d y d x . 6) y = 2 - e x
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado:52) y = 1 + x ³ ,( 2,3 ) ³
Encontre a derivada da função29) F t = e t . s e n( 2 t )
Seja r (x) = f ( g (h (x)) ) , onde h (1) = 2 , g (2) = 3 , h^' (1) = 4 , g^' (2) = 5 e f^' (3) = 6 . Encontre r ' ( 1 ) .