Enunciado

Suponha que f seja diferenciável em toda parte. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

14.Se f ' for crescente em [ 0 ,   1 ] , e f ' for decrescente em [ 1 ,   2 ] , então f tem uma inflexão em x = 1 .

Passo 1

A afirmação é falsa.

Ela deveria ter as informações extra de que, pro sinal da derivada mudar de um intervalo pro outro, no ponto em que isso acontece – no caso, x = 1 – deve existir um ponto em que a derivada se anule, ou então uma descontinuidade da função.

Como nossa f é diferenciável em toda parte, só poderíamos ter o caso de um ponto onde a derivada se anula – um ponto de máximo, como nossa função é crescente no intervalo [ 0 ,   1 ] , exatamente em x = 1 .

Acontece que um ponto de máximo (ou também um ponto de mínimo) nem sempre é um ponto de inflexão, ou seja, nem sempre é um ponto onde a função muda de concavidade.

Passo 2

Um exemplo simples de função que ilustra isso é:

f x = cos ⁡ x :

Repare o ponto de máximo em x = 0 , em que o sinal da derivada muda, mas a concavidade permanece voltada pra baixo.

Isso faz com que a afirmação esteja generalizando a situação de um caso específico pra todos os casos de função com pontos em que a derivada se anule. Logo, é falsa.

Resposta

Falsa.

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