Enunciado

Faça um gráfico completo de f , indique os limites quando x → ± ∞ e localize todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (quando apropriado).

f x = 1 2 x 2               ,   x ≤ 0 - x 2                     , x > 0    

Passo 1

Analisando os limites laterais da função:

lim x → + ∞ ⁡ 1 2 x 2 = ∞ 2 = ∞

lim x → - ∞ ⁡ - x 2 = - - ∞ 2 = - ∞

Passo 2

A função muda, há assíntotas.

Passo 3

Para encontrar os pontos de inflexão, vamos calcular a primeira derivada da função e encontrar suas raízes. A seguir, aplicamos as raízes na segunda derivada.

Sendo a função :

f x = = 1 2 x 2               ,   x ≤ 0 - x 2                     , x > 0    

Derivando o polinômio pela regra do quociente :

f ' x = x   ,   x ≤ 0

f ' x = - 2 x ,   x > 0  

A raiz para ambos os polinômios será x = 0 .

Passo 4

Agora, podemos calcular a segunda derivada:

f ' x = x   ,   x ≤ 0

f ' x = - 2 x ,   x > 0  

f ' ' x = 1 ,   x ≤ 0  

f ' ' x = - 2 ,   x > 0  

Dessa forma, x = 0 não é um extremo relativo. E a função muda em x = 0 .

Resposta

Limites a direita é infinito positivo e a esquerda é infinito negativo. Sem assíntota .

Sem extremo relativo, a função muda de concavidade em x = 0 .

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