Enunciado

Suponha que x = x 0 seja um ponto no qual uma função seja contínua, mas não diferenciável, e que f ' ( x ) tenda a limites finitos distintos quando x tende a x 0 pela esquerda e pela direita. Invente um nome para descrever o gráfico de f num ponto desses e discuta a conveniência dessa sua terminologia.

Passo 1

Um exemplo clássico desse tipo de questão é a f x = x . É uma função contínua, porém olha o que acontece:

Lá no ponto x = 0 ela não é derivável. Veja que nesse caso as derivadas tendendo a direita e a esquerda são:

x < 0 → y = - x → y ' = - 1

x > 0 → y = x → y = 1

Ou seja, são derivadas finitas e diferentes.

Dizemos que a função não é diferenciável em x = 0 porque não é possível traçar uma reta tangente ao gráfico nesse ponto.

Um nome bastante usado para esses pontos (que não fui eu quem inventei 😪) é ponto de bico, porque é exatamente isso, a função faz um bico, onde não é possível existir derivada.

Em qualquer função onde f é contínua porém os limites laterais da derivada são finitos e distintos, pode apostar que vai ter um ponto de bico lá.. 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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55-60. Usando a regra de L’Hôpital (Seção 3.6), podemos conferir que: lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x r = 0 ,lim x → + ∞ ⁡ x r ln ⁡ x = + ∞ ,lim x → 0 + ⁡ x r ln ⁡ x = 0 Com qualquer número real positivo r . N
39-44. Obtenha um gráfico da função e identifique a localização de todos os pontos de extremos relativos e de inflexão. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.42. sin ⁡ x + cos ⁡ x
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