Enunciado

45-54. Usando a regra de L’Hôspital (Seção 3.6), podemos conferir que:

lim x → + ∞ ⁡ e x x = + ∞ ,   lim x → + ∞ ⁡ x e x = 0 ,   lim x → - ∞ ⁡ x e x = 0

Nestes exercícios:

a) use esses limites, se necessário, para obter limites de f x quando x → + ∞ e x → + - ∞ .

b) Esboce o gráfico de f x e identifique todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (conforme o caso). Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

54. f x = x 3 e x - 1

Passo 1

a) Então galera, temos que a função que nos foi dada é a seguinte:

f x = x 3 e x - 1

Se calcularmos os limites de f x quando x → + ∞ e x → + - ∞ , teremos:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 e x - 1 = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 3 e x - 1 = 0

Show! Primeira parte finalizada!

Passo 2

b) Caso não se lembre, para identificarmos os pontos de extremos relativos de uma função devemos fazer uma análise dos pontos críticos da mesma, isto é, analisar os pontos em que f ' x = 0 ou os pontos em que f ' x não existe! Ademais, para identificarmos os pontos de inflexão devemos fazer a mesma análise dos extremos, mas agora para f ' ' x = 0 , ok? Vamo que vamo!

Derivando a nossa função, teremos:

f ' x = 3 x 2 . e x - 1 + x 3 . e x - 1

f ' x = e x - 1 3 x 2 + x 3

Igualando a derivada a zero, teremos:

e x - 1 3 x 2 + x 3 = 0

Como e x - 1 nunca poderá ser zero, então a única forma desse produto ser zero é se:

3 x 2 + x 3 = 0

x 2 x + 3 = 0

A primeira possibiidade é se:

x 2 = 0

x = 0

A segunda e última possibilidade é se:

x + 3 = 0

x = - 3

Então esses são os nossos possíveis pontos de extremos, galera!

Passo 3

Os pontos de inflexão de uma função são os pontos no qual a função muda de concavidade, ou seja, sai de f ' ' x > 0 e vira f ' ' x < 0 e vice-versa! Derivando a nossa derivada, teremos:

f ' ' x = e x - 1 . 3 x 2 + x 3 + e x - 1 . 6 x + 3 x 2

f ' ' x = e x - 1 3 x 2 + x 3 + 6 x + 3 x 2

Como e x - 1 nunca poderá ser zero, então a única forma desse produto ser zero é se:

x 3 + 6 x 2 + 6 x = 0

x x 2 + 6 x + 6 = 0

A primeira possibilidade é se:

x = 0

A segunda possibilidade é se:

x 2 + 6 x + 6 = 0

Utilizando Bhaskara, teremos:

x = - 6 ± 36 - 4 . 1.6 2 = - 6 ± 2 3 2

x 1 = - 4,7

x 2 = - 1,27

Então esses são os nossos pontos de inflexão, galera!

Passo 4

Substituindo os valores de x que encontramos na nossa função, teremos:

f 0 = 0

f - 3 = - 0,49

f - 4,7 = - 0,35

f - 1,27 = - 0,21

Show! Encontramos todos os dados solicitados pelo enunciado, pessoal! Por fim, se plotarmos o gráfico da função, teremos:

E está aí nossa resolução! 😉

Resposta

a) lim x → + ∞ ⁡ x 3 e x - 1 = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 3 e x - 1 = 0

b) Pontos de extremos relativos: x = 0   e   x = - 3 ;

Pontos de inflexão: x = - 4,27   e   x = - 1,27 ;

Gráfico:

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