Enunciado

45-54. Usando a regra de L’Hôspital (Seção 3.6), podemos conferir que:

lim x → + ∞ ⁡ e x x = + ∞ ,   lim x → + ∞ ⁡ x e x = 0 ,   lim x → - ∞ ⁡ x e x = 0

Nestes exercícios:

a) Use esses limites, se necessário, para obter limites de f x quando x → + ∞ e x → + - ∞ .

b) Esboce o gráfico de f x e identifique todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (conforme o caso). Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

50. f x = e - 1 x 2

Passo 1

a) Então galera, temos que a função que nos foi dada é a seguinte:

f x = e - 1 x 2

Se calcularmos os limites de f x quando x → + ∞ e x → + - ∞ , teremos:

lim x → + ∞ ⁡ e - 1 x 2 = 1

lim x → - ∞ ⁡ e - 1 x 2 = 1

Show! Primeira parte finalizada!

Passo 2

b) Caso não se lembre, para identificarmos os pontos de extremos relativos de uma função devemos fazer uma análise dos pontos críticos da mesma, isto é, analisar os pontos em que f ' x = 0 ou os pontos em que f ' x não existe! Ademais, para identificarmos os pontos de inflexão devemos fazer a mesma análise dos extremos, mas agora para f ' ' x = 0 , ok? Vamo que vamo!

Derivando a nossa função, teremos:

f ' x = e - 1 x 2 . 2 x 3

f ' x = 2 e 1 x 2 . x 3

Igualando a nossa derivada a zero, teremos:

2 e 1 x 2 . x 3 = 0

Aqui temos algo importantíssimo para notar, galera! Perceba que não existem valores de x para que essa razão resulte em zero, uma vez que o denominador não pode ser nulo. No entanto, como temos esse termo x 3 , então para x < 0 teremos essa razão < 0 também. Por outro lado, para x > 0 teremos essa razão > 0 também. Em outras palavras, antes de 0 a função é decrescente e depois de 0 a função é crescente, então o que temos é um ponto de mínimo em x = 0 .

Sendo assim, então podemos dizer que x = 0 é nosso ponto de extremo relativo!

Passo 3

Os pontos de inflexão de uma função são os pontos no qual a função muda de concavidade, ou seja, sai de f ' ' x > 0 e vira f ' ' x < 0 e vice-versa! Derivando a nossa derivada, teremos:

f ' ' x = 2 e - 1 x 2 . 2 x 3 . x 3 - e - 1 x 2 . 3 x 2 x 6

Note que utilizamos a regra do quociente para realizar essa derivada, ok? Continuando:

f ' ' x = e - 1 x 2 4 - 6 x 2 x 6

Igualando a nossa derivada a zero, teremos:

e - 1 x 2 4 - 6 x 2 x 6 = 0

A única forma dessa razão resultar em zero é se:

4 - 6 x 2 = 0

Logo:

4 = 6 x 2

x 2 = 2 3 ⇒ x = ± 2 3

Então esses são os nossos pontos de inflexão, galera!

Passo 4

Substituindo os valores de x que encontramos na nossa função, teremos:

f 0 = 0

f 2 3 = 1 e 3 2

f - 2 3 = 1 e 3 2

Show! Encontramos todos os dados solicitados pelo enunciado, pessoal! Por fim, se plotarmos o gráfico da função, teremos:

E está aí nossa resolução! 😉

Resposta

a) lim x → + ∞ ⁡ e - 1 x 2 = 1

lim x → - ∞ ⁡ e - 1 x 2 = 1

b) Ponto de extremo relativo: x = 0 ;

Pontos de inflexão: x = ± 2 3

Gráfico:

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