Enunciado

Suponha que f e g sejam funções que satisfaçam as hipóteses do teorema do valor médio em [ a ,   b ] . Além disso, suponha que f ' x = g ' ( x ) para todo x no intervalo aberto ( a ,   b ) . Prova que f x - g x = f a - g ( a ) para todo x no intervalo fechado [ a ,   b ] .

Passo 1

Como f , por hipótese, satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio, temos que existe c ∈ ( a ,   b ) tal que:

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Passo 2

Como g , por hipótese, satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio, temos que existe d ∈ ( a ,   b ) tal que:

g ' d = g b - g ( a ) b - a

Passo 3

Sabemos que f ' x = g ' x , para todo x ∈ ( a ,   b ) , em particular para c , d ∈ ( a ,   b ) temos:

f ' c = g ' d ⇒

f b - f a b - a = g b - g a b - a ⇒

f b - f a = g b - g ( a )

Tomando b = x :

f x - f a = g x - g a ⇒

f x - f a - g x = - g a ⇒

f x - g x = f a - g ( a )

Como queríamos mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Demonstre que a função apresenta valores extremos locais nos valores dados de θ e depois informe qual tipo de extremo local a função apresenta. h θ = 3 cos ⁡ θ 2,0 ≤ θ ≤ 2 π,θ = 0eθ = 2 π