Enunciado

Faça o gráfico da curva y = (x^2)/(x^2 - 4)

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) = (x^2)/(x^2 - 4)

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais, exceto por x = +- 2 , já que quando substituímos esse valor na função acontece uma divisão por zero, que é uma indeterminação matemática.

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) está definida para todo x != +- 2

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f (x) possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Para isso faremos f (x) = 0 , perceba que como estamos com uma divisão de polinômios, precisamos apenas igualar o numerador a zero, ou seja,

x^2 = 0 => x = 0

Sendo assim, x = 0 é uma raiz para f ( x ) ,ou seja,

f (0) = (( 0 )^2)/(( 0 )^2 - 4) = (0)/(- 4) = 0

Logo, o gráfico de f ( x ) toca o eixo x apenas uma vez.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f^(' ') ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra do quociente,

f^' (x) = (2 x ( x^2 - 4 ) - x^2 ( 2 x ))/((x^2 - 4)^2)

= (2 x^3 - 8 x - 2 x^3)/((x^2 - 4)^2)

= (- 8 x)/((x^2 - 4)^2)

Calculando a segunda derivada utilizando a regra quociente e a regra da cadeia,

f^(' ') (x) = (- 8 ((x^2 - 4)^2) + 8 x ( 2 . ( x^2 - 4 ) ( 2 x ) ))/((x^2 - 4)^4)

= (( x^2 - 4 ) [ - 8 ((x^2 - 4)^1) + 8 x ( 4 x ) ])/((x^2 - 4)^4)

= ([ - 8 ( x^2 - 4 ) + 8 x ( 4 x ) ])/((x^2 - 4)^3)

= ([ - 8 x^2 + 32 + 32 x^2 ])/((x^2 - 4)^3)

= ([ 32 + 24 x^2 ])/((x^2 - 4)^3)

= (8 [ 4 + 3 x^2 ])/((x^2 - 4)^3)

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f^' (x) = (- 8 x)/((x^2 - 4)^2) = 0 => - 8 x = 0 => x = 0

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( - 2,0 ) x = 0 , f ' ' ( x ) assume valores positivos ( f (x) cresce). E para valores dentro do intervalo (0,2) x = 0 , f ' ' ( x ) irá assumir valores negativos ( f (x) decresce). Logo, x = 0 é um ponto de máximo no intervalo de (- 2,2) .

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f^(' ') (x) = (8 [4 + 3 x^2])/((x^2 - 4)^3) = 0 => 8 (4 + 3 x^2) = 0 => 4 + 3 x^2 = 0

=> x^2 = - (4)/(3) => x = +- sqrt(- (4)/(3))

No entanto, a raiz quadrada de um número negativo não existe nos reais. Sendo assim, f ' ( x ) não possui pontos críticos em seu domínio e consequentemente f (x) não tem mudança de concavidade

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

underset(x -> oo)(lim) f (x) = underset(x -> oo)(l i m) (x^2)/(x^2 - 4) = underset(x -> oo)(l i m) ((x^2)/(x^2))/((x^2)/(x^2) - (4)/(x^2)) = underset(x -> oo)(l i m) (1)/(1 - (4)/(x^2)) = (1)/(1 - 0) = 1

Logo, f (x) possui uma assíntota horizontal em f ( x ) = 1 .

No que se refere as assíntotas verticais, perceba que apesar de f ( x ) não estar definida em x = +- 2 , este ponto é uma assíntota vertical para f ( x ) , pois

underset(x -> 2^-)(lim) f (x) = underset(x -> - 2^+)(l i m) f (x) = - oo

Logo, f (x) possui assíntotas verticais em x = +- 2 .

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico? f x = e x
Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ como foi feito nos Exercícios 4 - 11 . Você pode sugerir uma fórmula para f ‘ ( x ) a partir de seu gráfico? f x = ln ⁡ x
Seja f x = x 2 .(a) Estime os valores de f ' ( 0 ) , f ' 1 2 , f ' ( 1 ) e f ' ( 2 ) fazendo uso de uma ferramenta gráfica para dar zoom no gráfico de f .(b) Use a simetria para deduzir os valores de
Seja f x = x 3 .Estime os valores de f ' ( 0 ) ,f ' 1 2 ,f ' ( 1 ) , f ' ( 2 ) e f ' ( 3 ) fazendo uso de uma ferramenta gráfica para fazer um zoom no gráfico de f .Use a simetria para deduzir os valo
Use uma calculadora gráfica ou computador para fazer o gráfico da função g x = e x - 3 x ² ² na janela retangular - 1,4 por - 8,8 . Usando o gráfico da parte (a) para estimar a inclinação, faça um esb