Enunciado

Suponha que X ,   Y   e Z sejam variáveis aleatórias com função densidade conjunta f x , y , z = C e - ( 0,5 x + 0,2 y + 0,1 z ) se x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   z ≥ 0 e f x , y , z = 0 caso contrário.

  1. Determine o valor da constante C .
  2. Determine P ( X ≤ 1 , Y ≤ 1 ) .
  3. Determine   P ( X ≤ 1 , Y ≤ 1 , Z ≤ 1 ) .

Passo 1

(a) A função densidade conínua tem que satisfazer

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f x , y , z   d x d y d z = 1

Como se as variáveis estiverem fora do intervalo ( 0 , ∞ ) a função é 0

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f x , y , z   d z d y d z = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ C e - ( 0,5 x + 0,2 y + 0,1 z )   d x d y d z

Podemos dividir a soma no expoente em multiplicações

= ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ C e - 0,5 x e - 0 , 2 y e - 0 , 1 z   d x d y d z

= ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ C   e - 0,2 y e - 0,1 z e - 0,5 x - 0,5 0 ∞ d y d z

= 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ C   e - 0,2 y e - 0,1 z d y d z = 2 ∫ 0 ∞ C   e - 0,1 z e - 0,2 y - 0,2 0 ∞ d z

= 10 ∫ 0 ∞ C   e - 0,1 z d z = 10 C e - 0,1 z - 0,1 0 ∞

= 100 C

Como isso tem que ser 1

C = 1 100

Passo 2

(b) A probabilidade é calculada pela fórmula

P X , Y , Z ∈ E = ∭ E f x , y , z   d V

Neste caso X ≤ 1 , Y ≤ 1 temos que z está livre para variar, então

P X ≤ 1 , Y ≤ 1 = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 ∞ C e - 0,5 x e - 0,2 y e - 0,1 z   d z d y d x

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 C e - 0,5 x e - 0,2 y e - 0,1 z - 0,1 0 ∞ d y d x = 10 ∫ 0 1 ∫ 0 1 C e - 0,5 x e - 0,2 y d y d x

= 10 ∫ 0 1 C e - 0,5 x e - 0,2 y - 0,2 0 1 d x = 10 5 - 5 e - 0,2 ∫ 0 1 C e - 0,5 x d x

= 10 5 - 5 e - 0,2 C e - 0,5 x - 0,5 0 1 = 10 C 5 - 5 e - 0,2 ( 2 - 2 e - 0,5 )

= 10 0 C 1 - e - 0,2 ( 1 - e - 0,5 )

Como C = 1 100

= 1 - e - 0,2 1 - e - 0,5 ≈ 0 , 07132 = 7,13 %

Passo 3

(c) Para X ≤ 1 , Y ≤ 1 , Z ≤ 1 temos que todas as variações são de 0 a 1 então

P X ≤ 1 , Y ≤ 1 , Z ≤ 1 = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 C e - 0,5 x e - 0,2 y e - 0,1 z   d z d y d x

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 C e - 0,5 x e - 0,2 y e - 0,1 z - 0,1 0 1 d y d x = 10 - 10 e - 0,1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 C e - 0,5 x e - 0,2 y d y d x

= 10 - 10 e - 0,1 ∫ 0 1 C e - 0,5 x e - 0,2 y - 0,2 0 1 d x = 10 - 10 e - 0,1 5 - 5 e - 0,2 ∫ 0 1 C e - 0,5 x d x

= 10 - 10 e - 0,1 5 - 5 e - 0,2 C e - 0,5 x - 0,5 0 1 = 10 - 10 e - 0,1 5 - 5 e - 0,2 ( 2 - 2 e - 0,5 ) C

= 100 C 1 - e - 0,2 ( 1 - e - 0,5 ) 1 - e - 0,1

Como C = 1 100

= 1 - e - 0,2 1 - e - 0,5 1 - e - 0,1 ≈ 0,0068 = 0,68 %

Resposta

(a) C = 1 100

(b) 7,13 %

(c) 0,68 %

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