Enunciado

Expresse a integral ∭ E f x , y , z   d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas.

x = 2 ,           y = 2 ,           z = 0 ,           x + y - 2 z = 2

Passo 1

O que a questão pede é que analisemos e representemos o espaço de integração E de 6 maneiras diferentes, dos três tipos diferentes para integral tripla e para cada tipo, dois tipos diferentes na dupla.

Primeiro vamos colocar y entre funções das outras variáveis. Isolando y no ultimo plano temos

x + y - 2 z = 2

y = 2 - x + 2 z

Podemos colocar da seguinte forma 2 - x + 2 z ≤ y ≤ 2 .

Agora analisando as outras variações, teremos no plano, a interseção quando y = 2

x + 2 - 2 z = 2

x = 2 z

Então temos a variação 2 z ≤ x ≤ 2 e quando x = 2

2 z = 2

z = 1

E a variação de z é 0 ≤ z ≤ 1 e temos a região D 1 e E 1 como

D 1 = x , z |   0 ≤ z ≤ 1 ,   2 z ≤ x ≤ 2

E 1 = x , y , z |   x , z ∈ D 1 , 2 - x + 2 z ≤ y ≤ 2  

Se na equação x = 2 z isolarmos z teremos a mesma região descrita de outra forma

z = x 2

0 ≤ z ≤ x 2

E para encontrar a de x , quando z = 0

x = 0

0 ≤ x ≤ 2

E temos a região D 2 e E 2

D 2 = x , z | 0 ≤ z ≤ x 2 , 0 ≤ x ≤ 2

E 2 = x , y , z |   x , z ∈ D 2 , 2 - x + 2 z ≤ y ≤ 2  

Passo 2

Se pegarmos a equação x + y - 2 z = 2 e isolarmos x encontramos que

x = 2 - y + 2 z

E temos a variação 2 - y + 2 z ≤ x ≤ 2 e então vamos analisar a região D com variações das outras variáveis.

A intersecção quando x = 2 nos dá

2 = 2 - y + 2 z

y = 2 z

E temos a variação 2 z ≤ y ≤ 2 e quando y = 2 temos a variação de z

2 z = 2

z = 1

0 ≤ z ≤ 1

E temos a região D 3 e E 3 como

D 3 = y , z | 0 ≤ z ≤ 1 , 2 z ≤ y ≤ 2

E 3 = x , y , z | y , z ∈ D 3 ,   2 - y + 2 z ≤ x ≤ 2

Se na equação y = 2 z isolarmos z

z = y 2

0 ≤ z ≤ y 2

E quando z = 0

y = 0

0 ≤ y ≤ 2

E temos

D 4 = y , z | 0 ≤ y ≤ 2 ,   0 ≤ z ≤ y 2

E 4 = x , y , z | y , z ∈ D 4 ,   2 - y + 2 z ≤ x ≤ 2

Passo 3

Agora se isolarmos z na equação x + y - 2 z = 2 temos

2 z = x + y - 2

z = x + y - 2 2

0 ≤ z ≤ x + y - 2 2

E a variação das outras variáveis vai sair da intersecção do plano com z = 0

x + y - 2 = 0

Isolando y

y = 2 - x

Então podemos colocar y como 2 - x ≤ y ≤ 2

E na intersecção com y = 2

2 - x = 2

x = 0

0 ≤ x ≤ 2

E temos

D 5 = x , y |   2 - x ≤ y ≤ 2 ,   0 ≤ x ≤ 2  

E 5 = x , y , z | x , y ∈ D 5 , 0 ≤ z ≤ x + y - 2 2

E se pegarmos x + y - 2 = 0 e isolarmos x

x + y - 2 = 0

x = 2 - y

2 - y ≤ x ≤ 2

Quando x = 2

2 - y = 2

y = 0

0 ≤ y ≤ 2

E temos

D 6 = x , y |   0 ≤ y ≤ 2 ,   2 - y ≤ x ≤ 2  

E 6 = x , y , z | x , y ∈ D 6 , 0 ≤ z ≤ x + y - 2 2

Resposta

D 1 = x , z |   0 ≤ z ≤ 1 ,   2 z ≤ x ≤ 2

E 1 = x , y , z |   x , z ∈ D 1 , 2 - x + 2 z ≤ y ≤ 2  

D 2 = x , z | 0 ≤ z ≤ x 2 , 0 ≤ x ≤ 2

E 2 = x , y , z |   x , z ∈ D 2 , 2 - x + 2 z ≤ y ≤ 2  

D 3 = y , z | 0 ≤ z ≤ 1,2 z ≤ y ≤ 2

E 3 = x , y , z | y , z ∈ D 3 ,   2 - y + 2 z ≤ x ≤ 2

D 4 = y , z | 0 ≤ y ≤ 2 ,   0 ≤ z ≤ y 2

E 4 = x , y , z | y , z ∈ D 4 ,   2 - y + 2 z ≤ x ≤ 2

D 5 = x , y |   2 - x ≤ y ≤ 2 ,   0 ≤ x ≤ 2  

E 5 = x , y , z | x , y ∈ D 5 , 0 ≤ z ≤ x + y - 2 2

D 6 = x , y |   0 ≤ y ≤ 2 ,   2 - y ≤ x ≤ 2  

E 6 = x , y , z | x , y ∈ D 6 , 0 ≤ z ≤ x + y - 2 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 y ∫ x 1 6 x y zd zd xd y
Calcule a integral iterada. ∫ 0 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y 2 y ⋅ s e n xd zd yd x
Calcule o valor da integral múltipla. ∫ ∫ ∫ Ex yd V ,o n d eE = x , y , z |0 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ x , 0 ≤ z ≤ x + y
Calcule o valor da integral múltipla. ∫ ∫ ∫ Tx yd V ,o n d eTéot e t r a e d r os ó l i d oc o mv é r t i c e s0,0 , 0 , 1 3 , 0,0 , 0,1 , 0e0,0 , 1 é ó é
Calcule o valor da integral múltipla. ∫ ∫ ∫ Ey 2 z 2d V ,o n d eEél i m i t a d op e l op a r a b o l o i d ex = 1 - y 2 - z 2ep e l op l a n ox = 0 é