Enunciado

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Suponha que a e b sejam vetores não nulos, não paralelos e que c seja um vetor pertencente ao plano determinado por a   e b . Dê um argumento geométrico para mostrar que c pode ser escrito como c = s a + t b para uma escolha conveniente de s e t . Depois dê argumentos usando componentes.

Passo 1

Fazendo o desenho da situação descrita, ficamos com:

Agora para argumentar com as componentes vamos dizer que nossos vetores são a = a 1 , a 2 ,   b = b 1 , b 2   e   c = c 1 , c 2 . Então c = s a + t b   significa que

c 1 , c 2 = s a 1 , a 2 + t b 1 , b 2

= s a 1 , s a 2 + t b 1 , t b 2 = ( s a 1 + t b 1 , s a 2 + t b 2 )

Então c 1 = s a 1 + t b 1 e c 2 = s a 2 + t b 2 .

O argumento aqui é que essas duas equações formam um sistema de equações lineares que tem uma solução única para os valores de s e t , já que a e b não são paralelos (não são múltiplos um do outro)

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