Enunciado

Suponha que a equação F x , y , z = 0 defina implicitamente cada uma das três variáveis x ,   y e z como função das outras duas: z = f ( x , y ) , y = g ( x , z ) e x = h y , z . Se F for diferenciável e F x , F y e F z forem todas não nulas, mostre que

∂ z ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ z = - 1

Passo 1

Po galera, vamos lá! Do nosso enunciado, temos que:

z = f ( x , y )

y = g ( x , z )

x = h y , z

Po, se eu pegar esse y e esse x e substituir na expressão de z , vamos ter que:

z = f h y , z , g ( x , z )

y = g ( x , z )

x = h y , z

Ou seja:

z = f h , g

y = g

x = h

Portanto, podemos reescrever nossa equação para:

F x , y , z = 0

F h , g , z = 0

Pela regra da cadeia, derivando em relação a h , temos:

∂ F ∂ h ∂ h ∂ h + ∂ F ∂ g ∂ g ∂ h + ∂ F ∂ z ∂ z ∂ h = 0

Como g não é uma função de h e como ∂ h ∂ h = 1 , simplificamos para:

∂ F ∂ h + ∂ F ∂ z ∂ z ∂ h = 0

E logo:

∂ z ∂ h = - ∂ F ∂ h ∂ F ∂ z

Mas como h = x , isso é o mesmo que dizer:

∂ z ∂ x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z

Nos próximos passos vamos manter essa ideia, ok? Bora lá!

Passo 2

Show de bola, vamos lá! Se temos:

z = f ( x , y )

y = g ( x , z )

x = h y , z

Podemos considerar então que:

z = f ( x , y )

y = g ( h y , z , f ( x , y ) )

x = h y , z

E portanto:

z = f

y = g ( h , f )

x = h

Nossa equação se torna:

F x , y , z = 0

F h , y , f = 0

Pela regra da cadeia, derivando em relação a f , temos:

∂ F ∂ h ∂ h ∂ f + ∂ F ∂ g ∂ y ∂ f + ∂ F ∂ f ∂ f ∂ f = 0

Como h não é uma função de f e como ∂ f ∂ f = 1 , simplificamos para:

∂ F ∂ g ∂ y ∂ f + ∂ F ∂ f = 0

∂ y ∂ f = - ∂ F ∂ f ∂ F ∂ g

Voltando pras variáveis originais:

∂ y ∂ z = - ∂ F ∂ z ∂ F ∂ y

Passo 3

Ultima vez agora que iremos derivar usando regra da cadeia! Se temos:

z = f ( x , y )

y = g ( x , z )

x = h y , z

Podemos considerar então que:

z = f ( x , y )

y = g ( x , z )

x = h g ( x , z ) , f ( x , y )

E portanto:

z = f

y = g

x = h g , f

Nossa equação se torna:

F x , y , z = 0

F x , g , f = 0

Pela regra da cadeia, derivando em relação a g , temos:

∂ F ∂ x ∂ x ∂ g + ∂ F ∂ g ∂ g ∂ g + ∂ F ∂ f ∂ f ∂ g = 0

Como f não é uma função de g e como ∂ g ∂ g = 1 , simplificamos para:

∂ F ∂ x ∂ x ∂ g + ∂ F ∂ g = 0

∂ x ∂ g = - ∂ F ∂ g ∂ F ∂ x

Voltando pras variáveis originais:

∂ x ∂ y = - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ x

Passo 4

Agora a gente fecha com chave de ouro reunindo todos os resultados dos outros passos:

∂ z ∂ x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z

∂ y ∂ z = - ∂ F ∂ z ∂ F ∂ y

∂ x ∂ y = - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ x

Multiplicando eles todos:

∂ z ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ z = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ x - ∂ F ∂ z ∂ F ∂ y

∂ z ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ z = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z

∂ z ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ z = - 1

Ta provado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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