Enunciado

Suponha que a equação F x , y , z = 0 defina implicitamente cada uma das três variáveis x ,   y e z como função das outras duas: z = f ( x , y ) , y = g ( x , z ) e x = h y , z . Se F for diferenciável e F x , F y e F z forem todas não nulas, mostre que

∂ z ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ z = - 1

Passo 1

Fala ai pessoal! De boa?

A questão pede para mostrar que o produto das derivadas parciais ∂ z ∂ x ,   ∂ x ∂ y   e   ∂ y ∂ z é igual a - 1 ,

considerando que as variáveis x , y , e z estão implicitamente relacionadas pela equação F ( x , y , z ) = 0 .

Isso significa que:

  • z é uma função de x e y ,
  • y é uma função de x e z ,
  • x é uma função de y e z ,

todas deriváveis em relação a F .

Essa questão é sobre demonstração, Então vamos começar! 😊

Passo 2

Po galera, vamos lá! Do nosso enunciado, temos que:

z = f ( x , y )

y = g ( x , z )

x = h y , z

Po, se eu pegar esse y e esse x e substituir na expressão de z , vamos ter que:

z = f h y , z , g ( x , z )

y = g ( x , z )

x = h y , z

Ou seja:

z = f h , g

y = g

x = h

Portanto, podemos reescrever nossa equação para:

F x , y , z = 0

F h , g , z = 0

Passo 3

Pela regra da cadeia, derivando em relação a h , temos:

∂ F ∂ h ∂ h ∂ h + ∂ F ∂ g ∂ g ∂ h + ∂ F ∂ z ∂ z ∂ h = 0

Como g não é uma função de h e como ∂ h ∂ h = 1 , simplificamos para:

∂ F ∂ h + ∂ F ∂ z ∂ z ∂ h = 0

E logo, isolando ∂ z ∂ h :

∂ z ∂ h = - ∂ F ∂ h ∂ F ∂ z

Mas como h = x , isso é o mesmo que dizer:

∂ z ∂ x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z

Nos próximos passos vamos manter essa ideia, ok? Bora lá!

Passo 4

Show de bola, vamos lá! Se temos:

z = f ( x , y )

y = g ( x , z )

x = h y , z

Podemos considerar então que:

z = f ( x , y )

y = g ( h y , z , f ( x , y ) )

x = h y , z

E portanto:

z = f

y = g ( h , f )

x = h

Nossa equação se torna:

F x , y , z = 0

F h , y , f = 0

Passo 5

Pela regra da cadeia, derivando em relação a f , temos:

∂ F ∂ h ∂ h ∂ f + ∂ F ∂ g ∂ y ∂ f + ∂ F ∂ f ∂ f ∂ f = 0

Como h não é uma função de f e como ∂ f ∂ f = 1 , simplificamos para:

∂ F ∂ g ∂ y ∂ f + ∂ F ∂ f = 0

∂ y ∂ f = - ∂ F ∂ f ∂ F ∂ g

Voltando pras variáveis originais:

∂ y ∂ z = - ∂ F ∂ z ∂ F ∂ y

Passo 6

Ultima vez agora que iremos derivar usando regra da cadeia! Se temos:

z = f ( x , y )

y = g ( x , z )

x = h y , z

Podemos considerar então que:

z = f ( x , y )

y = g ( x , z )

x = h g ( x , z ) , f ( x , y )

E portanto:

z = f

y = g

x = h g , f

Nossa equação se torna:

F x , y , z = 0

F x , g , f = 0

Passo 7

Pela regra da cadeia, derivando em relação a g , temos:

∂ F ∂ x ∂ x ∂ g + ∂ F ∂ g ∂ g ∂ g + ∂ F ∂ f ∂ f ∂ g = 0

Como f não é uma função de g e como ∂ g ∂ g = 1 , simplificamos para:

∂ F ∂ x ∂ x ∂ g + ∂ F ∂ g = 0

Isolando ∂ F ∂ g

∂ x ∂ g = - ∂ F ∂ g ∂ F ∂ x

Voltando pras variáveis originais:

∂ x ∂ y = - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ x

Passo 8

Agora a gente fecha com chave de ouro reunindo todos os resultados dos outros passos:

∂ z ∂ x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z

∂ y ∂ z = - ∂ F ∂ z ∂ F ∂ y

∂ x ∂ y = - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ x

Multiplicando eles todos:

∂ z ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ z = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ x - ∂ F ∂ z ∂ F ∂ y

∂ z ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ z = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z

∂ z ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ z = - 1

Ta provado!

Resposta

Demonstração

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize a equação 6 para determinar d y // d x .arctan ( x^2 y ) = x + x y^2
Utilize a equação 6 para determinar d y // d x .e^y s e n x = x + x y
Utilize as equações 7 para determinar del z // del x e del z // del y .e^z = x y z
Utilize as equações 7 para determinar del z // del x e del z // del y .x^2 - y^2 + z^2 - 2 z = 4
A equação 6 é uma fórmula para a derivada d y / d x de uma função definida implicitamente por uma equação F x , y = 0 , sendo que F é diferenciável e F y ≠ 0 . Comprove que se F tem derivadas contínua