Enunciado

Suponha que a sequência de um termo geral a n , n natural, seja crescente (isto é, quaisquer que sejam os naturais n e m , n < m ⟹ a n ≤ a m ) e que exista M real tal que a n ≤ M para todo natural n . Prove que lim n → + ∞ ⁡ a n existe e que lim n → + ∞ ⁡ a n = sup ⁡ a n | n ∈ N . (Veja Seção A1.4.)

Passo 1

Por conta do M , dizemos que a função é limitada superiormente para todo n natural.

Então, o conjunto a n n ∈ N é não-vazio e limitado superiormente, e portanto admite um supremo, que vamos chamar de L . Dado, ϵ > 0 , existe a n 1 ∈ a n n ∈ N tal que

L - ϵ < a n 1 < L

Daí, para todo n em n 1 , + ∞ temos:

L - ϵ < a n < L < L + ϵ

Então:

L - ϵ < a n < L + ϵ

Logo:

lim n → + ∞ ⁡ a n = L

Como L é o supremo no intervalo a n n ∈ N , provamos que

lim n → + ∞ ⁡ a n = sup ⁡ a n | n ∈ N

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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