Enunciado

Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.

f x = x 3 em p = 1

Passo 1

Para provar que f é contínua em p temos que mostrar que para um ϵ > 0 existe um intervalo aberto I que contenha 1 , de modo que:

x ∈ I ⇒ f p - ϵ <   f x < f p + ϵ

x ∈ I ⇒ f 1 - ϵ <   f x < f 1 + ϵ

Isso significa que se pegarmos um x que pertença a um intervalo I que é a “vizinhança” de p , o valor da função nesse x deve estar no máximo a um ϵ de distância de f p .

Passo 2

Resolvendo a inequação:

f 1 - ϵ <   f x < f 1 + ϵ

1 3 - ϵ < x 3 < 1 3 + ϵ

1 - ϵ < x 3 < 1 + ϵ

1 - ϵ 3 < x < 1 + ϵ 3

Assim, podemos definir o nosso intervalo I como sendo:

I = 1 - ϵ 3 , 1 + ϵ 3

De modo que 1 ∈ I .

Então, provamos que x ∈ I ⇒ f 1 - ϵ <   f x < f 1 + ϵ

Logo, f é contínua em p .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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