Enunciado

Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.

Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que

∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ θ 2

Passo 1

Vamos derivar z parcialmente em função de r

∂ z ∂ r = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ r

∂ z ∂ r = ∂ z ∂ x cos ⁡ θ + ∂ z ∂ y sen ⁡ θ

Elevando ao quadrado

∂ z ∂ r 2 = ∂ z ∂ x 2 cos 2 ⁡ θ + 2 ∂ z ∂ x cos ⁡ θ ∂ z ∂ y sen ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 sen 2 ⁡ θ

∂ z ∂ r 2 = ∂ z ∂ x 2 cos 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y sen ⁡ 2 θ

Agora vamos derivar z parcialmente em função de θ

∂ z ∂ θ = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ θ

∂ z ∂ θ = - ∂ z ∂ x r sen ⁡ θ + ∂ z ∂ y r cos ⁡ θ

Colocando r em evidencia e elevando os dois lados ao quadrado

∂ z ∂ θ = r - ∂ z ∂ x sen ⁡ θ + ∂ z ∂ y cos ⁡ θ

∂ z ∂ θ 2 = r 2 ∂ z ∂ x 2 sen 2 ⁡ θ - 2 ∂ z ∂ x sen ⁡ θ ∂ z ∂ y cos ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 cos 2 ⁡ θ

∂ z ∂ θ 2 = r 2 ∂ z ∂ x 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 cos 2 ⁡ θ - ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y sen ⁡ 2 θ

Dividindo por r 2

1 r 2 ∂ z ∂ θ 2 = ∂ z ∂ x 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 cos 2 ⁡ θ - ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y sen ⁡ 2 θ

Passo 2

Somando agora ∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ θ 2 , podemos ver que os termos ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y sen ⁡ 2 θ se cancelam, então

∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ θ 2 = ∂ z ∂ x 2 cos 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ x 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 cos 2 ⁡ θ

∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ θ 2 = ∂ z ∂ x 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ θ 2 = ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2

Resposta

∂ z ∂ r = ∂ z ∂ x cos ⁡ θ + ∂ z ∂ y sen ⁡ θ

∂ z ∂ θ = - ∂ z ∂ x r sen ⁡ θ + ∂ z ∂ y r cos ⁡ θ

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