Enunciado

Se R é a resistência equivalente de três resistores conectadas em paralelo, com resistências R 1 , R 2 e R 3 , então

1 R = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3

Se as resistências medem em ohms R 1 = 25 Ω , R 2 = 40 Ω e R 3 = 50 Ω , com margem de erro de 0,5 % em cada uma, estime o erro máximo no valor calculado de R .

Passo 1

Fala aí! Precisamos encontrar o erro máximo no valor de R … Podemos fazer isso usando diferencial, né? Para isso, precisamos, antes de tudo, isolar R fazendo M.M.C. na direita, ok?

1 R = R 2 R 3 + R 1 R 3 + R 1 R 2 R 1 R 2 R 3

Invertendo os dois lados, temos:

R = R 1 R 2 R 3 R 2 R 3 + R 1 R 3 + R 1 R 2

Para achar o diferencial, vamos encontrar as derivadas parciais, ok? Primeiro para R 1 , aplicando a regra da divisão, teremos o seguinte:

R R 1 = R 2 R 3 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3   -   R 1 R 2 R 3 ( R 2 + R 3 ) R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 2

R R 1 = R 1 R 2 2 R 3 + R 1 R 2 R 3 2 + R 2 R 3 2 - R 1 R 2 2 R 3 - R 1 R 2 R 3 2 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 2

R R 1 = R 2 R 3 2 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 2

Agora vamos fazer isso para R 2 e para R 3 , mas pra dar uma facilitada podemos reparar que a função é simétrica para todas as variáveis, então as derivadas serão semelhantes, sendo assim vamos ter:

R R 2 = R 1 R 3 2 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 2 R R 3 = R 1 R 2 2 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 2

Beleza! Então já temos o diferencial, ele será:

d R = R 2 R 3 2 d R 1 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 2 + R 1 R 3 2 d R 2 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 2 + R 1 R 2 2 d R 3 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 2

d R = R 2 R 3 2 d R 1 + R 1 R 3 2 d R 2 + R 1 R 2 2 d R 3 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 2

Passo 2

Agora vamos verificar, se o erro é de 0,5 % , para estimarmos o erro por diferencial, vamos dizer que:

d R n = 0,5 %   .   R n

d R n = 0,5 100   .   R n

E o enunciado deu pra gente que:

R 1 = 25 Ω R 2 = 40 Ω R 3 = 50 Ω

Então temos:

d R 1 = 0,5 100   .   R 1 d R 2 = 0,5 100   .   R 2 d R 3 = 0,5 100   .   R 3

d R 1 = 0,5 100   .   25 d R 2 = 0,5 100   .   40 d R 3 = 0,5 100   .   50

d R 1 = 0,125 d R 2 = 0,2 d R 3 = 0,25

Agora que temos todos os d R ' s vamos colocar na nossa equação e encontrar o erro:

d R = R 2 R 3 2 d R 1 + R 1 R 3 2 d R 2 + R 1 R 2 2 d R 3 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 2

d R = 40   ⋅   50 2   .   0,125   +   25   ⋅   50 2   .   0,2   +   25   ⋅   40 2   .   0,25 25   ⋅   40   +   25   ⋅   50   +   40   ⋅   50 2

d R = 500000   +   312500   +   250000 1000   +   1250   +   2000 2

d R = 1062500 4250 2

d R = 1 062 500 18062500

d R = 0,059   Ω

Show! Encontramos um erro máximo de:

5,9 %

Resposta

Vamos ter um erro máximo de: 5,9 %

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