Enunciado

Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.

Se u = f ( x , y ) , onde x = e s cos ⁡ t e y = e s sen ⁡ t , mostre que

∂ u ∂ x 2 + ∂ u ∂ y 2 = e - 2 s ∂ u ∂ s 2 + ∂ u ∂ t 2

Passo 1

Vamos derivar u parcialmente em função de s

∂ u ∂ s = ∂ u ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ u ∂ y ∂ y ∂ s

∂ u ∂ s = ∂ u ∂ x e s cos ⁡ t + ∂ u ∂ y e s sen ⁡ t

Elevando ao quadrado

∂ u ∂ s 2 = ∂ u ∂ x 2 e 2 s cos 2 ⁡ t + 2 ∂ u ∂ x e s cos ⁡ t ∂ u ∂ y e s sen ⁡ t + ∂ u ∂ y 2 e 2 s sen 2 ⁡ t

∂ u ∂ s 2 = ∂ u ∂ x 2 e 2 s cos 2 ⁡ t + ∂ u ∂ y 2 e 2 s sen 2 ⁡ t + ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y e 2 s sen ⁡ 2 t

Podemos dividir por e 2 s

e - 2 s ∂ u ∂ s 2 = ∂ u ∂ x 2 cos 2 ⁡ t + ∂ u ∂ y 2 sen 2 ⁡ t + ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y sen ⁡ 2 t

Agora vamos derivar u parcialmente em função de t

∂ u ∂ t = ∂ u ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ u ∂ y ∂ y ∂ t

∂ u ∂ t = - ∂ u ∂ x e s sen ⁡ t + ∂ u ∂ y e s cos ⁡ t

Elevando os dois lados ao quadrado

∂ u ∂ t 2 = ∂ u ∂ x 2 e 2 s sen 2 ⁡ t - 2 ∂ u ∂ x e s sen ⁡ t ∂ u ∂ y e s cos ⁡ t + ∂ u ∂ y 2 e 2 s cos 2 ⁡ t

∂ u ∂ t 2 = ∂ u ∂ x 2 e 2 s sen 2 ⁡ t + ∂ u ∂ y 2 e 2 s cos 2 ⁡ t - ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y e 2 s sen ⁡ 2 t

Dividindo por e 2 s

e - 2 s ∂ u ∂ t 2 = ∂ u ∂ x 2 sen 2 ⁡ t + ∂ u ∂ y 2 cos 2 ⁡ t - ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y sen ⁡ 2 t

Passo 2

Somando agora e - 2 s ∂ u ∂ s 2 + e - 2 s ∂ u ∂ t 2 , podemos ver que os termos ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y sen ⁡ 2 t se cancelam, então

e - 2 s ∂ u ∂ s 2 + e - 2 s ∂ u ∂ t 2 = ∂ u ∂ x 2 cos 2 ⁡ t + ∂ u ∂ y 2 sen 2 ⁡ t + ∂ u ∂ x 2 sen 2 ⁡ t + ∂ u ∂ y 2 cos 2 ⁡ t

e - 2 s ∂ u ∂ s 2 + ∂ u ∂ t 2 = ∂ u ∂ x 2 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t + ∂ u ∂ y 2 sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t

e - 2 s ∂ u ∂ s 2 + ∂ u ∂ t 2 = ∂ u ∂ x 2 + ∂ u ∂ y 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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