Calcule a integral

∫ 2 y   d y y 2 - 25

Passo 1

A questão nos pede para resolver uma integral indefinida, a qual envolverá funções logarítmicas. O que precisamos lembrar é que:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + k

Quaisquer outras técnicas de integração necessária para a resolução serão relembradas pontualmente.

Passo 2

A integral indefinida associada ao problema é:

∫ 2 y   d y y 2 - 25

Vamos começar fazendo uma mudança de variáveis. Se u = y 2 - 25 , d u = 2 y   d y . Portanto, teremos:

∫ 2 y   d y y 2 - 25 = ∫ d u u

Passo 3

Portanto, temos que resolver a integral indefinida acima. Desta forma, temos:

∫ d u u = ln ⁡ u + k

Voltando para a variável inicial, temos:

ln ⁡ u + k = ln ⁡ y 2 - 25 + k

Portanto, a integral indefinida do nosso problema possui a seguinte resolução:

∫ 2 y   d y y 2 - 25 = ln ⁡ y 2 - 25 + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k ! Como estamos resolvendo uma integral indefinida, não podemos esquecer dele viu!

Resposta

∫ 2 y   d y y 2 - 25 = ln ⁡ y 2 - 25 + k

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